Векторная алгебра

    Дисциплина: Разное
    Тип работы: Реферат
    Тема: Векторная алгебра

    относятся линейные

    операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число.

    называют вектор , проведенный из начала a к концу b , если конец a и начало b совмещены. Операция сложения векторов обладает

    свойствами:

    (коммутативность)

    (ассоциативность)

    (наличие нулевого элемента

    (наличие противоположного элемента),

    где 0 - нулевой вектор, -a есть вектор, противоположный вектору а. Разностью a-b векторов a и b называют вектор x такой, что x+b=a.

    Произведением lx вектора а на число l в случае l^10, а^1О называют0, и в

    противоположную, если l0. Если l=0 или (и) a =0, то la=0. Операция умножения вектора на число обладает свойствами:

    (l+u)*a=l*a+u*a (дистрибутивность относительно сложения чисел)

    (ассоциативность)

    (умножение на единицу)

    Множество всех векторов пространства с введенными в нем операциями сложения и умножения на число образует векторное пространство (линейное пространство).

    В Векторной

    векторами, если существуют числа a, b,…, g из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что справедливо равенство:

    aa+bb+…gc=0. (1)

    Для линейной зависимости двух векторов необходима и достаточна их коллинеарность, для линейной зависимости трех векторов необходима и достаточна их компланарность. Если

    один из векторов а, b, ...,c нулевой, то они линейно зависимы. Векторы a,b, ..,с называются линейно независимыми, если из равенства (1) следует, что числа a, b,…, g равны нулю. На

    плоскости существует не более двух, а в трехмерном пространстве не более трех линейно независимых векторов.

    Совокупность трех (двух) линейно независимых векторов e

    3 трехмерного пространства (плоскости), взятых в определенном порядке, образует базис. Любой вектор а единственным образом представляется в виде суммы:

    Числа a

    3 называют координатами (компонентами) вектора а в данном базисе и пишут a={a

    Два вектора a={a

    3} и b={b

    3} равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе. Необходимым и достаточным условием коллинеарностиa={a

    3} и b={b

    3} ,b^10, является пропорциональность их соответствующих координат: a

    1=lb

    2=lb

    3=lb

    . Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов a={a

    3} , b={b

    3} и c={c

    3} является равенство :

    3| = 0

    Линейные операции над векторами сводятся к линейным операциям над координатами. Координаты суммы векторов a={a

    3} и b={b

    3} a+b={a

    3}. Координаты произведения вектора а на число l равны произведениям координат а на l :

    lа= {lа

    1,la

    2, la

    Скалярным произведением (а, b) ненулевых векторов а и b называют произведение их модулей на косинус угла j между ними:

    (а, b) = | а |*| b | cosj.

    За принимается угол между векторами, не превосходящий p. Если а=0 или b=0, то скалярное произведение полагают равным нулю. Скалярное произведение обладает

    свойствами:

    (a, b)= (b, а) (коммутативность),

    (a,b+с)= (a,b) + (а,с) (дистрибутивность относительно сложения векторов),

    l(a,b)=( la,b) =(a,l6) (сочетательность относительно умножения на число),

    (a,b)=0, лишь если а=0 или (и) b=0 или a^b.

    Для вычисления скалярных произведений векторов часто пользуются декартовыми прямоугольными координатами, т.е. координатами векторов в базисе, состоящем из единичных

    перпендикулярных

    ортонормированный базис). Скалярное произведение векторов :

    a={a

    3} и b={b

    заданных в ортонормированном базисе, вычисляется по формуле:

    (a,b)=a

    Косинус угла j между ненулевыми векторами a={a

    3} и b={b

    может быть вычислен по формуле:

    где

    Косинусы углов вектора a={a

    3} с векторами базиса i, j, k называют. направляющими косинусами вектора а:

    Направляющие косинусы обладают следующим свойством:

    2a+cos

    2b+cos

    2g=1

    Осью называется прямая с лежащим на ней единичным вектором е-ортом, задающим положительное направление на прямой. Проекцией Пр.

    е а вектора a на ось называют направленный отрезок на оси, алгебраическое значение которого равно скалярному произведению вектора а на вектор е. Проекции обладают

    свойствами:

    Пр.

    е (a+b)= Пр.

    е a+ Пр.

    е b (аддитивность),

    Пр.

    е a = Пр.

    е la(однородность).

    Каждая координата вектора в ортонормированном базисе равна проекции этого вектора на ось, определяемую соответствующим вектором базиса.

    В пространстве различают правые и левые тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов а, b, с называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, с

    в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае a,b,c - левая тройка. Правая (левая) тройка векторов располагается так, как могут быть расположены

    соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки(см. рис). Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково

    ориентированными.

    правило правой руки

    Ниже тройку векторов i,j,k следует считать правой .

    Пусть на плоскости задано направление положительного вращения (от i к j). Псевдоскалярным произведением aVb ненулевых векторов a и b называют произведение их модулей на синус угла j

    положительного вращения от a к k:

    aVb=| a || b |*sinj

    Псевдоскалярное произведение нулевых векторов полагают равным нулю. Псевдоскалярное произведение обладает свойствами:

    aVb=-bVa (антикоммутативность),

    aV (b+c)=aVb+aVc (дистрибутивность относительно сложения векторов),

    l(aVb)=laVb (сочетательность относительно умножения на число),

    aVb=0, лишь если а=0 или (и) b=0 или а и b коллинеарны.

    Если в ортонормированном базисе векторы а и и имеют координаты {a

    2} {b

    2}, то :

    aVb=a

    Язык: Русский

    Скачиваний: 406

    Формат: Microsoft Word

    Размер файла: 16 Кб

    Автор:

    Скачать работу...

    Забрать файл

    Похожие материалы:


ПИШЕМ УНИКАЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Заказывайте напрямую у исполнителя!


© 2006-2016 Все права защищены