Двойной интеграл в полярных координатах

    Дисциплина: Разное
    Тип работы: Реферат
    Тема: Двойной интеграл в полярных координатах

    Двойной интеграл в полярных координатах

    Пусть в двойном интеграле

    при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам

    , полагая

    x = r cos

    y = r sin

    Область интегрирования

    разобьем на элементарные ячейки

    с помощью координатных линий

    r = r

    окружности)

    (лучи) (рис.1).

    Введем обозначения:

    Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки

    с точностью до бесконечно малых высшего порядка

    малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями

    поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна:

    Что касается ячеек

    неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования

    , то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.

    В качестве точки

    для простоты выберем вершину ячейки

    с полярными координатами

    . Тогда декартовые координаты точки

    равны:

    И следовательно,

    ) = f(r

    (3\')

    Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым

    интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3

    получаем:

    где

    - максимальный диаметр ячеек

    и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области

    . С другой стороны, величины

    суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости

    . Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции

    f(r cos

    , r sin

    соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами

    Следовательно

    Сравнивая формулы (4) и (5), получим окончательно

    Выражение

    dS = r d

    называется

    двумерным элементом площади в полярных координатах

    Итак,

    чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты

    заменить по формулам (2), а вместо элемента площади

    подставить выражение (7).

    Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования

    определяется неравенствами

    Где

    ), r

    - однозначные непрерывные функции на отрезке

    ]. (

    рис 2).

    Имеем

    Где

    F(r,

    ) = rf(r cos

    , r sin

    Пример 1.

    Переходя к полярным координатам

    и r

    , вычислить двойной интеграл

    Где

    - первая четверть круга радиуса

    , с центром в точке О(0,0) (рис 3).

    Так как

    то применяя формулу (6),

    получим

    Область

    определена

    Неравенствами

    Поэтому на основании формулы (8) имеем

    Пример 2.

    В интеграле

    перейти к полярным координатам.

    Область

    интегрирования здесь есть треугольник

    , ограниченный прямыми

    y=x, x=1 (

    рис 4).

    В полярных координатах уравнения

    этих прямых записываются

    следующим образом:

    /4, r cos

    =1 и,

    следовательно, область

    определяется неравенствами

    Отсюда на основании формул

    (6) и(8), учитывая, что

    имеем

    Язык: Русский

    Скачиваний: 346

    Формат: Microsoft Word

    Размер файла: 86 Кб

    Автор:

    Скачать работу...

    Забрать файл

    Похожие материалы:


ПИШЕМ УНИКАЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Заказывайте напрямую у исполнителя!


© 2006-2016 Все права защищены