Замечательные кривые в математике. Прямая, окружность, циклоида, кривая кратчайшего спуска, спираль Архимеда, лемниската, Т. Барианшона, Т. Паскаля

    Дисциплина: Разное
    Тип работы: Реферат
    Тема: Замечательные кривые в математике. Прямая, окружность, циклоида, кривая кратчайшего спуска, спираль Архимеда, лемниската, Т. Барианшона, Т. Паскаля

    П л а н

    Стр.

    TOC \\o \"1-3\"

    Прямая и окружность

    ...............................................................................................................................

    PAGEREF _Toc514811445 \\h

    Циклоида

    .....................................................................................................................................................

    PAGEREF _Toc514811448 \\h

    Кривая кратчайшего спуска

    ....................................................................................................................

    PAGEREF _Toc514811449 \\h

    Спираль Архимеда

    ....................................................................................................................................

    PAGEREF _Toc514811450 \\h

    Логарифмическая спираль

    ......................................................................................................................

    PAGEREF _Toc514811451 \\h

    Теорема Паскаля

    .....................................................................................................................................

    PAGEREF _Toc514811452 \\h

    Теорема Барианшона

    ..............................................................................................................................

    PAGEREF _Toc514811453 \\h

    Лемниската Бернулли

    ............................................................................................................................

    PAGEREF _Toc514811454 \\h

    Список литературы

    .................................................................................................................................

    PAGEREF _Toc514811455 \\h

    Прямая и окружность

    Прямая и окружность - две наиболее простые и вместе с тем наиболее замечательные по своим свойствам кривые. Любой человек знаком с прямой и окружностью больше, чем с другими

    кривыми. Но пусть он не думает, что ему хорошо известны все важнейшие свойства прямых и окружностей. Знает ли он, например, что если вершины двух треугольников АВС и

    A\'B\'C\'

    лежат на трех прямых, пересекающихся в одной точке 5 (рис. 1), то тогда три точки М, К.,

    пересечения соответственных сторон треугольников АВ с А\'В\', ВС с В\'С\' и АС с А\'С\' должны находиться на одной и той же прямой?

    Рис. 1.

    Рис. 2.

    Читателю, конечно, известно, что точка М, которая движется по плоскости, оставаясь на равных расстояниях от двух неподвижных точек

    той же плоскости, т. е. так, что

    описывает прямую (рис. 2). Но, вероятно, он затруднится ответить, какую кривую опишет точка М, если ее расстояние до точки F

    будет в определенное число раз превосходить расстояние до точки

    (например, вдвое, как на рис. 3). Оказывается, что этой кривой является окружность. Следовательно, если точка М движется по плоскости так, что ее расстояние до одной из двух

    неподвижных точек

    плоскости будет изменяться пропорционально расстоянию до другой точки:

    Рис. 3.

    1 = k MF

    то М будет описывать либо прямую (когда коэффициент пропорциональности k равен единице), либо окружность (когда коэффициент пропорциональности отличен от единицы).

    Рис. 4.

    Рассмотрим кривую, описываемую точкой М так, что сумма расстояний этой точки до двух неподвижных точек

    остается неизменной. Возьмем нить, концы ее привяжем к двум булавкам и воткнем эти булавки в лист бумаги, оставляя сначала нить ненатянутой. Если оттянуть теперь нить с помощью

    вертикально поставленного карандаша и затем передвигать карандаш, слегка придавливая его к бумаге и следя за тем, чтобы нить была натянутой (рис. 4), то острие М карандаша опишет кривую

    овальной формы (похожую на сплющенный круг); она называется эллипсом.

    Чтобы получить полный эллипс, придется перекинуть нить на другую сторону от булавок, после того как будет описана одна половина эллипса. Очевидно, что сумма расстояний от острия М

    карандаша до булавочных проколов

    остаётся неизменной во все время движения; эта сумма равна длине нити.

    Рис. 5.

    Проколы булавок отмечают на бумаге две точки, называемые фокусами эллипса. Слово фокус в переводе с латинского означает «очаг», «огонь»; оно оправдывается следующим

    замечательным свойством эллипса.

    Если изогнуть узкую полоску хорошо отполированного металла по дуге эллипса и поместить точечный источник света («огонь») в одном фокусе, то лучи света, отразившись от полоски,

    соберутся в другом фокусе; поэтому и во втором фокусе будет также виден «огонь» - изображение первого (рис. 5.).

    Циклоида

    Приложим к нижнему краю классной доски линейку и будем катить по ней обруч или круг (картонный или деревянный), прижимая его к линейке и к доске. Если прикрепить к обручу или

    кругу кусок мела (в точке соприкосновения его с линейкой), то мел бу­дет вычерчивать кривую (рис. 37), называемую циклоидой (что по-гречески значит «кругообразная»). Одному обороту

    обруча соответствует одна «арка» циклоиды

    MM\'M\'\'N\',

    если обруч будет катиться дальше, то будут получаться еще и еще арки той же циклоиды.

    Рис. 6.

    Чтобы построить на бумаге приближенно одну арку циклоиды, описанную при качении обруча диаметром, равным, например, трем сантиметрам, отложим на прямой отрезок, равный 3х3,14 =

    9,42 см.

    .Получим отрезок, длина которого равна длине обода обруча, т. е. длине окружности диаметром в три сан­тиметра. Разделим далее этот отрезок на некоторое число равных частей,

    например на 6, и для каждой точки деления изобразим наш обруч в том его поло­жении, когда он опирается именно на данную точку (рис. 38), занумеровав эти положения цифрами:

    О, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

    Чтобы перейти из одного положения в соседнее, обруч должен повернуться на одну шестую полного оборота ^так как расстояние между соседними точками деления равно шестой части

    окружности). Поэтому если в положении 0 мел будет находиться в точке М

    0, то в положении 1 он будет лежать в точке M

    1 - на одной шестой окружности от точки касания, в положении 2 - в точке М

    2 - на две шестых от точки касания и т. д. Чтобы получить точки

    1, M

    3 и т.д., нужно лишь производить засечки соответствующей окружно­сти, начиная от точки касания, радиусом, равным

    Рис. 7.

    1,5 см, причем в положении 1 нужна одна засечка, в положении 2 - две засечки, выполненные одна за другой, в положении 3 - три засечки и т. д. Теперь для вычерчивания циклоиды

    остается соединить точки

    2, М

    4, M

    5, M

    плавной кривой (на глаз).

    Кривая кратчайшего спуска

    Среди многих замечательных свойств циклоиды от­метим одно, из-за которого она заслужила громко звучащее мудреное название: «брахистохрона». Это название составлено из двух

    греческих слов, означающих «кратчайший» и «время».

    Рассмотрим такой вопрос: какую форму следует придать хорошо отшлифованному металлическому желобу, соединяющему две заданные точки А и В (рис. 8.), чтобы полированный

    металлический шарик скатывался по этому желобу из точки А в точку В в кратчайшее время? На первый взгляд кажется, что нужно остановиться на прямолинейном желобе, так как только вдоль

    него шарик пройдет кратчайший путь от А до В. Однако речь идет не о кратчайшем пути, а о кратчайшем времени; время же зависит не только от длины пути,...

    Забрать файл

    Похожие материалы:


    Andrey 24 May 2017 19:16

    Линия - общая часть двух смежных областей поверхности. Характеристика спиралей – плоских кривых линий. Кардиоида как плоская линия, описываемая фиксированной точкой окружности. Описание циклоида и астроида. Синусоидальная спираль как семейство кривых.
ПИШЕМ УНИКАЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Заказывайте напрямую у исполнителя!


© 2006-2016 Все права защищены