Общая характеристика аксиоматики Гильберта

    Дисциплина: Разное
    Тип работы: Реферат
    Тема: Общая характеристика аксиоматики Гильберта

    ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АКСИОМАТИКИ ГИЛЬБЕРТА

    Имеется принципиальная разница в постановке вопроса об

    аксиоматическом обосновании геометрии у Гильберта от той поста­

    новки, которая имела место до него.

    Евклид в своих «Началах» наметил идеал строго логического

    изложения геометрии, хотя и не смог до конца выполнить свой

    замысел. Согласно этому замыслу необходимо строго отделить ми­

    нимум того, что должно быть заимствовано и абстрагировано из опыта и геометрической интуиции и с полной ясностью и от­

    чётливостью высказано в аксиомах, от того, что должно быть выве­

    дено из аксиом исключительно логическим путём без всяких обра­щений к очевидности и опыту. Весь длительный путь развития гео­метрии от Евклида до Гильберта показывает, насколько

    было труд­

    но осуществить эту задачу. Трудность её таилась в трудности пре­

    одоления влияния очевидности, наглядных представлений на

    логический процесс при выяснении необходимых и достаточных

    первоначальных предпосылок геометрии.

    Наше пространственное воображение, наглядные представле­

    ния и конкретное понимание геометрических понятий являются

    весьма ценным и необходимым спутником нашего мышления. Они

    в логическом процессе играют наводящую роль и служат как бы предварительной ориентировке в изучаемых явлениях. Они дают

    возможность охватить эти явления в целом и наметить тот путь, по

    которому следует направить логические рассуждения для окон­

    чательного доказательства истины и проверки фактов, добытых

    при помощи наблюдения и опыта.

    Короче говоря, «созерцание намечает, логика проверяет; со­

    зерцание предсказывает, логика устанавливает; созерцание откры­

    вает, логика доказывает» (В. Ф.

    Каган).

    Одна логика не может нам объяснить, почему мы в качестве

    аксиом выбираем то или иное предложение, почему мы выбираем

    .для изучения то или иное понятие. Первостепенную роль при вы­

    боре аксиом и геометрических понятий играют опыт, индукция,

    наглядные представления, чертёж. Они играют большую роль

    также в нахождении самого пути логического доказательства,

    в построении той цепи умозаключений и аргументов, которые обос­

    новывают доказываемое предложение. Одна логика не может

    объяснить, почему при доказательстве избираются эти построения

    и преобразования, а не другие. Здесь мы имеем широкое поле дей­

    ствия геометрической интуиции, наглядности, догадки*).

    Во-первых, если наши геометрические понятия о точке, прямой

    и т. д. неразрывно связаны с определёнными конкретными нагляд­

    ными представлениями, то это ведёт

    к потере

    общности

    и к сужению поля применимости геометрических истин и логи­

    ческих рассуждений, ибо создаётся впечатление, что эти истины

    и рассуждения справедливы только по отношению к тем объектам реального мира, которые отражаются в наших наглядных пред­

    ставлениях, хотя, возможно, они имеют силу и в отношении объек­

    тов другой природы. Таким образом, из-за деревьев мы не видим

    леса.

    Во-вторых, при строго логическом построении геометрии в гео­

    метрических понятиях и аксиомах должны найти своё выражение

    лишь те свойства и отношения объектов реального мира, которые

    являются существенными для логических рассуждений. Только

    эти существенные признаки и должны быть отмечены в аксиомах

    и определениях. Все остальные признаки и стороны этих объектов

    должны быть оставлены в стороне, как не играющие никакой роли

    в рассуждениях и не имеющие значения для дедукции. Мы должны

    от них отвлечься. Между тем если наши геометрические понятия срастаются с обычными их наглядными конкретными представле­ниями, то указанные существенные свойства сливаются в нашем

    представлении со многими другими несущественными для логиче­

    ских выводов свойствами. Эго чрезвычайно затрудняет выделение

    существенных для дедукции признаков и установление их логи­

    ческих зависимостей. Вместе с тем чрезвычайно затрудняется вы­

    деление минимума исходных предпосылок геометрии и проверка

    их на непротиворечивость, независимость и полноту.

    Поэтому, если мы ставим перед собой задачу составить полный

    перечень аксиом геометрии, а также разработать принципы про­

    верки их на непротиворечивость и независимость и сохранить

    общность геометрических истин, мы прежде всего должны поза­

    ботиться о максимальном устранении влияния наглядных пред­

    ставлений на наши рассуждения. Мы должны отвлечься от всего несущественного и безразличного для логического построения гео­метрии, добиваясь наибольшей общности и применимости

    полу­

    чаемых выводов к изучению объектов реального мира.

    И вот Гильберт установил совершенно новую точку зрения на

    .основные\' понятия и аксиомы геометрии

    Если до Гильберта под аксиомами геометрии понимались со­

    вершенно конкретные познавательные истины, относящиеся к

    вполне определённым конкретным объектам — точкам, прямым,

    плоскостям и т. Д., которые связаны с вполне определёнными про­

    странственными представлениями, то для Гильберта основные по­

    нятия геометрии (а следовательно, и производные) не связываются

    ни с какими конкретными объектами, они вводятся без

    р я м

    определений

    и всё, что о них необходимо знать, излагается

    в\" аксиомах. Аксиомы

    Гильберта

    являются

    этом

    смысле

    косвенными

    оп ре

    делениями

    основных

    понятий.

    Гильберт, начиная изложение своих «Оснований геометрии»,

    предполагает существование трёх различных систем вещей, при­

    рода которых безразлична: «вещи первой системы мы называем

    точками

    и обозначаем их А, В,

    С,...;

    вещи второй системы

    называем

    прямыми

    и обозначаем их а, Ь,

    с,...;

    вещи третьей

    системы мы называем

    плоскостями

    и обозначаем их а,

    р, 7, •••\'. точки называются также

    э л е

    ментами

    линейной

    геометрии,

    точки и прямые называются

    элементами

    плоской

    геометрии

    и, наконец, точки, прямые и плос­

    кости называются

    элементами

    пространственной

    геометрии

    или

    элементами

    пространств

    а».

    Далее, предполагается, что «точки, прямые, плоскости нахо­

    дятся в некоторых взаимных отношениях, и обозначаем эти отно­

    шения словами «лежат», «между», «параллельный», «конгруэнтный»

    и «непрерывный)

    4; точное и для математических целей полное опи­

    сание этих отношений даётся

    аксиомами

    геометри

    и».

    Таким образом, в системе Гильберта основные понятия и акси­

    омы представляют собой дальнейший процесс абстракции от вещей

    реального мира, они становятся абстрактными формами с перемен­

    ным содержанием. Теперь уже слова «точка», «прямая», «плоскость»

    и т. д. обозначают не обязательно те объекты, которые под этими

    словами привыкли понимать обычно, а могут обозначать объекты

    любой другой природы, лишь бы отношения между ними «лежит»,

    «между», «конгруэнтный», также понимаемые определённым об­разом, удовлетворяли той же системе аксиом. Эго значит, что мы

    теперь абстрагируемся от качественной природы геометрических

    объектов, для нас важно лишь, чтобы структура отношений между

    ними была такова, что для них выполняются все аксиомы Гиль­берта. Но раз для различных систем объектов будут справедливы

    эти аксиомы, то и все логические следствия из них, т. е. все теоремы геометрии, остают...

    Забрать файл

    Похожие материалы:


ПИШЕМ УНИКАЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Заказывайте напрямую у исполнителя!


© 2006-2016 Все права защищены