Построение решения задачи Гурса для телеграфного уравнения методом Римана

    Дисциплина: Разное
    Тип работы: Реферат
    Тема: Построение решения задачи Гурса для телеграфного уравнения методом Римана

    Міністерство освіти та науки України

    Дніпропетровський національний університет

    Механіко-математичний факультет

    Кафедра диференційних рівнянь

    Випускна робота

    Побудова розв

    язку задачі Гурса

    для телеграфного рівняння методом Рімана

    Виконав: студент гр. МЕ-97-2

    Керівник: проф. Остапенко В.О.

    Коленкін О.О.

    “___” _________2001.______

    Допущено до захисту:

    Рецензент:доц. Грішин

    В.Б.

    Завідувач кафедрою Поляков М.В.

    “___” _________2001._______

    “ ___” _________2001.______

    Дніпропетровськ.

    2001

    Зміст.

    TOC \\o \"1-3\"

    Реферат

    ...................................................................................................

    PAGEREF _Toc518782314 \\h

    The summary

    .........................................................................................

    PAGEREF _Toc518782315 \\h

    Вступ

    .......................................................................................................

    PAGEREF _Toc518782317 \\h

    §1. Постановка задачі.

    .........................................................................

    PAGEREF _Toc518782320 \\h

    §2. Приведення до канонічного вигляду гіперболічного рівняння другого порядку з двома незалежними змінними. Характеристики.

    ............................

    PAGEREF _Toc518782324 \\h

    §3. Формула Остроградського-Гаусса.

    ............................................

    PAGEREF _Toc518782325 \\h

    §4. Існування та єдиність розв’язку задачі Гурса.

    .........................

    PAGEREF _Toc518782327 \\h

    §5. Спряжені диференційні оператори.

    ............................................

    PAGEREF _Toc518782328 \\h

    §6. Побудова розв’язку.

    .....................................................................

    PAGEREF _Toc518782329 \\h

    §7. Деякі приклади на знаходження фунції Рімана.

    ......................

    PAGEREF _Toc518782330 \\h

    Висновок.

    .............................................................................................

    PAGEREF _Toc518782331 \\h

    Список використованої літератури:

    ................................................

    PAGEREF _Toc518782332 \\h

    Реферат

    Сторінок: 31, рисунків: 2, джерел: 4.

    Ключеві слова

    : рівняння гіперболічного типу, характеристики, задача Гурса, метод послідовних наближень, спряжений оператор, формула Гріна, функція Рімана.

    Мета роботи

    : в даній роботі необхідно ознайомитись з методом отримання розв

    ’язку задачі Гурса для

    телеграфного рівняння (1.1) з початковими умовами (1.2); довести існування та єдиність цього розв

    язку; навести приклади та вказати області вживання цього методу у прикладних науках.

    The summary.

    In the given operation some questions, concerning equations in partial derivatives of the second order with two explanatory variables of hyperbolic type are considered.

    The algorithm of coercion to a canonical form of these equations is shown, definition of characteristics is given. The method of construction of solution of

    Gourses

    problem for the telegraphic equation is stated. Existence and uniqueness of solution of

    Gourses

    problem is proved. Some questions concerning of conjugate differential operators, in particular, are considered is obtained the important formula (Green\'s formula) on

    which usage

    Rimahn’s

    method leans. Auxiliary function (

    Rimahn’s

    function (6.4)) is entered. The number of examples on finding of this function is given.

    Вступ

    У світі, який нас оточує, відбувається багато різних процесів – фізичні, хімічні, біологічні та інші. Для вивчання цих процесів будують математичні моделі. Велика

    кількість задач зводиться до рівнянь у частинних похідних. Великий інтерес являє собою знаходження розв

    яків для систем рівнянь, які підпорядковуються тим або іншим додатковим умовам. Ці додаткові умови, як правило, являють собою

    задання невідомих функцій та деяких їхніх похідних на межі області, в якої шукається розв

    язок, або складаються у тому, що невідомим функціям предписується той або інший характер властивості. В загальному випадку ці додаткові умови називаються граничними

    умовами. Задачі на відшукання розв

    ’язків системи рівнянь у частинних похідних, підлеглих вказаним додатковим умовам, в загальному випадку називаються граничними задачами.

    Прикладом граничної задачі може бути задача Гурса. Граничні задачі Гурса використовують для описання процесів сорбції, десорбції, сушки, процесів каталітичних хімічних

    реакцій та деяких інших процесів.

    Німецьким математиком Ріманом (17.09.1826 – 30.07.1866) був пропонований важливий метод інтегрування рівняння (1.1), який базується на використанні формули Гріна (5.2). Цей метод

    дозволяє виразити в явному вигляді шукаємий розв

    язок задачі Гурса через граничні умови (1.2).

    Робота складається з вступу, заключення та семи параграфів. Зробимо коротенький огляд кожного параграфу.

    В §1 цієї роботи наведена постановка задачі Гурса. На рисунку 1 показана область

    в якій необхідно знайти розв

    язок цієї задачі.

    §2 присвячен деяким загальним питанням рівнянь у частинних похідних. Показан алгоритм приведення до канонічного вигляду гіперболічного рівняння у частинних похідних другого

    порядку з двома незалежними змінними. Дано означення характеристик.

    §3 є допоміжним параграфом. У ньому наведено формулу

    перетворення поверхневих інтегралів у об

    ємні (3.2).

    В §4 методом послідовних наближень доводиться існування та єдиність

    розв

    язку задачі Гурса.

    §5 торкається питання спряжених диференційних операторів. Показано, що вираз

    vLu – uMv

    , де

    Mv –

    оператор, спряжений до

    , можна зобразити як суму частинних похідних від деякіх виразів. Отримана формула Гріна (5.2).

    §6 є основним параграфом в даній роботі. У ньому викладен метод Рімана. Шляхом введеня допоміжної функції (функції Рімана (6.4)) отримано розв

    язок задачі Гурса у явному вигляді.

    В §7 наведено деякі приклади знаходження функції Рімана.

    Постановка задачі.

    Нехай дано рівняння

    (1.1)

    Треба знайти розв

    язок цього рівняння в області

    (рис. 1)

    якщо задані крайові умови

    0, t) =

    (t);

    u(x, t

    0) =

    (1.2)

    при цьому функції

    ) та

    (x) ддиференцьовані, та задовільнюють умові спряження

    0) =

    Така задача називається задачею з даними на характкристиках, або задачею Гурса.

    Рис. 1

    Приведення до канонічного вигляду

    гіперболічного рівняння другого порядку

    з двома незалежними змінними. Характеристики.

    Розглянемо рівняння другого порядку з

    двома незалежними змінними

    (2.1)

    де коефіцієнти А, В та С – функції від

    x та

    які мають неперервні похідні до другого порядку включно у області

    . За допомогою перетворення змінних

    (х, у),

    (х, у),

    яке припускає обернене перетворення, ми отримуємо нове рівняння, еквівалентне рівнянню (2.1). При цьому будемо мати

    (2.2)

    підставляючи значення похідних з(2.2) в (2.1), будемо мати:

    (2.3)

    де

    а функція

    не залежить від других похідних. Замітимо, що якщо рівняння (2.1) було лінійно, то

    й рівняння (2.3) буде лінійним.

    Рівняння (2.1) пов’язано з рівнянням:

    Аdy

    2+2Вdydx+Сdx

    (2.4)

    яке має назву рівнянням характеристичних змінних, а його інтеграли – характеристиками для рівняння (2.1).

    А\\b(\\f(dy;dx))

    +2В\\f(dy;dx)+С

    \\f...

    Забрать файл

    Похожие материалы:


ПИШЕМ УНИКАЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Заказывайте напрямую у исполнителя!


© 2006-2016 Все права защищены