Правильные многогранники

    Дисциплина: Разное
    Тип работы: Реферат
    Тема: Правильные многогранники

    МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

    СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 106

    Правильные многогранники

    Реферат составил:

    учащийся 11”Б” класса

    Онещюк

    Игорь

    Николаевич

    Учитель:

    Онещюк Светлана

    Юрьевна

    г. Ростов-на-Дону

    2005

    Содержание:

    Стр.

    Введение…………………………………………………………………….

    О правильных многогранниках……………………………………………4

    Формула Эйлера……………………………………………………..4

    Доказательство существования пяти правильных многогранников……………………………………………………...5

    Платоновы тела……………………………………………………...6

    Теория Кеплера……………………………………………………...8

    Задача о проверке космической теории Платоновых тел……….10

    Современные гипотезы обустройства мира……………………...11

    Связь многогранников с живой природой………………………..12

    Заключение………………………………………………………………..15

    Список литературы……………………………………………………….16

    ПРИЛОЖЕНИЕ. Содержание слайдов………………………………….17

    5.1. Слайд № 7.

    5.2. Слайд № 8, 9.

    5.3. Слайды № 10, 11.

    5.4. Слайд № 12, 13.

    5.5. Слайды № 14, 15.

    5.6. Слайд № 16, 17.

    5.7. Слайд № 19.

    ВВЕДЕНИЕ.

    Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика,

    наслаждающегося чтением книг о многогранниках. Некоторые из правильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие – в виде вирусов (которые можно рассмотреть с помощью

    электронного микроскопа). Пчелы строили шестиугольные соты задолго до появления человека, а в истории цивилизации создание многогранных тел (подобных пирамидам) наряду с другими видами

    пластических искусств уходит в глубь веков. Пять правильных тел изучали Теэтет, Платон, Евклид, Гипсикл и Папп.

    Поэтому эпиграфом к своей работе я выбрал слова Л. Кэрролла:

    Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробиться в самые глубины различных наук.

    В реферате я

    доказал существование только 5-ти правильных многогранников, вывел закономерность

    количества граней, вершин и ребер правильных многогранников (формулу Эйлера), рассмотрел

    свойства тел Платона, их место в философской картине мира, разработанной мыслителем Платоном. Меня заинтересовала модель Солнечной системы – «Космический кубок»

    Кеплера и я попытался доказать истинность гипотезы Кеплера с помощью математических выкладок.

    2. О

    правильных многогранниках.

    2.1. Формула Эйлера (Слайд №18)

    Изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько у него граней, сколько ребер и вершин. Подсчитаем и мы число указанных элементов правильных многогранников и

    зафиксируем результаты в таблице 1.

    Таблица 1

    Правильный многогранник

    Число

    Граней

    Вершин

    Ребер

    Тетраэдр

    Куб

    Октаэдр

    Додекаэдр

    Икосаэдр

    Рассматривая табл. 1, зададимся вопросом: «нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?» По-видимому, нет. Вот в столбце «грани» все сначала пошло хорошо (4 + 2 = 6, 6

    + 2 = 8), а потом намеченная закономерность «провалилась» (8 + 2

    Мы сравнивали числа внутри одного столбца. Но можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах «грани» и «вершины» (Г + В). Сравним новую таблицу

    своих подсчетов (см. табл. 2).

    Таблица № 2

    Правильный

    многогранник

    Число

    Граней и вершин (Г + В)

    Ребер (Р)

    Тетраэдр

    Куб

    Октаэдр

    Додекаэдр

    Икосаэдр

    4 + 4 = 8

    6 + 8 = 14

    8 + 6 = 14

    12 + 20 = 32

    20 + 12 = 32

    Вот теперь закономерность видна.

    Сформулируем ее так: «Сумма числа граней и вершин равна числу ребер, увеличенному на 2»:

    Г + В = Р + 2.

    Итак, получена формула, которая была подмечена уже Декартом в 1640 году, а позднее переоткрыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она и носит. Формула Эйлера верна для любых

    выпуклых многогранников.

    2.2. Доказательство существования пяти правильных многогранников.

    Зададимся

    вопросом о том, сколько правильных многогранников существует?

    Предположим, что правильный многогранник имеет

    Г граней, из которых каждая есть правильный

    n-угольник,

    у каждой вершины сходятся

    k ребер,

    всего в многограннике В вершин и Р ребер,

    причем n

    сторон,

    и k

    Считая ребра по граням, получим: n

    Г = 2Р.

    Каждое ребро принадлежит двум граням, значит, в произведении

    число Р удвоено.

    Считая ребра по вершинам, получим:

    или

    По условию

    = 4 и

    = 4, то

    тогда

    Прикидкой можно проверить, что и другие значения n и k, большие 3, не удовлетворяют равенству

    (*).

    Значит, либо k = 3, либо n = 3.

    Пусть

    тогда равенство

    (*) примет вид:

    или

    Поскольку

    может принимать значения

    т.е. k =

    3, 4, 5.

    Если k = 3, n = 3, то

    P = 6,

    Г =

    В =

    - это тетраэдр (см. табл. 1).

    Если k = 4, n = 3, то Р = 12,

    Г =

    это

    октаэдр.

    Если k = 5, n = 3, то

    Р = 30,

    Г =

    В =

    это икосаэдр.

    Пусть теперь k = 3, тогда равенство (*) примет вид:

    Отсюда следует, что n может принимать значения 3, 4, 5.

    Случай n = 3 разобран.

    Остаются два случая:

    n = 4 при k = 3, тогда

    Г =

    это куб.

    n = 5 при k = 3, тогда

    Г = 12, В = 30

    - это додекаэдр.

    Мы

    доказали, что существует пять и только пять правильных выпуклых многогранников. Доказательство того, что больше не может быть, содержится в «Началах» Эвклида,

    причем автором этого доказательства считается Теэтет. Известно, что в течение нескольких лет Теэтет состоял в Академии и был близок к Платону, и этой близостью можно объяснить то

    обстоятельство, что Платон оказался знакомым с новейшими в то время открытиями в области стереометрии.

    2.3. Платоновы тела. ( Слайд №

    Правильные многогранники называются Платоновыми телами, они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном.

    Итак, правильных многогранников Платон знал пять, а число стихий (огонь, воздух, вода и земля) было ровно четыре. Следовательно, из пяти многогранников надо выбрать четыре,

    которые можно было бы сопоставить со стихиями.

    Какими соображениями руководствовался при этом Платон? Прежде всего тем, что некоторые элементы, как он считал, могли перейти друг в друга. Преобразование одних многогранников в

    другие могли быть осуществлены путем перестройки их внутренней структуры. Но для этого в данных телах нужно было найти такие структурные элементы, которые были бы для них общими. Из

    внешнего вида правильных многогранников явствует, что грани трех многогранников - тетраэдра, октаэдра, икосаэдра – имеют форму равностороннего треугольника. Два оставшихся многогранника

    – куб и додекаэдр – построены: первый - из квадратов, а второй - из правильных пятиугольников, поэтому они не могут преобразовываться ни друг в друга, ни в рассмотренные три тела. Это

    значит, что если мы придадим частицам трех стихий формы тетраэдра, октаэдра и икосаэдра, то частицы четвертой стихии будем считать кубами или додекаэдрами, но эта четвертая стихия не

    сможет переходить в три других, а всегда будет оставаться сама собой. Платон решил,

    что такой стихией может быть только земля и что мельчайшие частицы, из которых земля состоит, должны быть кубами. Тетраэдру, октаэдру и икосаэдру были сопоставлены соответственно

    огонь, воздух и вода.

    Тетраэдр

    (огонь)

    Куб

    (земля)
    ...

    Забрать файл

    Похожие материалы:


ПИШЕМ УНИКАЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Заказывайте напрямую у исполнителя!


© 2006-2016 Все права защищены