Природа математических абстракций

    Дисциплина: Разное
    Тип работы: Реферат
    Тема: Природа математических абстракций

    Московский Государственный Институт Управления Правительства Москвы

    Кафедра Математики

    РЕФЕРАТ

    Природа Математических Абстракций

    Выполнил

    Филитов Василий

    Сергеевич

    Проверила

    Лисогор Ирина

    Георгиевна

    Москва

    2003 год

    План

    Абстрагирование как мыслительный процесс

    Специфика математических абстракций

    Абстракция отождествления и понятие числа

    Понятие фигуры

    Количество и качество в математике

    Заключение

    Абстрагирование как мыслительный процесс

    Для более или менее подробного обсуждения предмета математики необходимо предварительно выяснить генезис и особенности ее важнейших исходных понятий, т.к. математика отличается

    от других наук, прежде всего, используемыми ею абстракциями. Стержневым

    вопросом философских проблем математики является отношение ее понятий к реальности, вопрос об объективном содержании математического знания. Чтобы лучше понять

    характер этих взаимоотношений, необходимо рассмотреть ключевой вопрос – процесс образования математических абстракций.

    Процесс абстрагирования есть существенный и необходимый прием познания

    окружающей нас действительности. Если на чувственной ступени познания человек с помощью ощущений отображает явления природы, то путем мышления (в обобщенной форме и

    опосредованно) он проникает в сущность этих явлений. Однако было бы ошибкой полагать, что здесь происходит просто логическая переработка чувственных данных, что в мышлении нет ничего,

    чего не было бы в ощущениях.

    Процесс абстрагирования и вытекающий из него процесс анализа являет собой отвлечение от несущественных сторон изучаемого объекта, выделение и рассмотрение только существенных

    свойств. Цель абстрагирования – получение более глубокого и «чистого» знания об объекте, чем на чувственной ступени познания. Таким образом, процесс абстрагирования завершается

    образованием исходных абстракций, однако они являют собой нечто неконкретное и одностороннее, поэтому для получения более глубоких и правильных знаний об изучаемом объекте, необходимо

    учитывать и вторую, чувственную ступень познания. Необходимо провести движение теперь уже от общего к частному путем синтеза.

    Путем созерцания возможно познать лишь внешнюю сторону предмета, в то время как абстрагирование позволяет познать его сущность. Это объясняет то, почему современная математика

    зачастую способна глубже и адекватнее описать сложные процессы действительности, хотя по мере своего развития ее понятия имеют все меньше сходства с реальными явлениями окружающего

    нас мира, утрачивают свою наглядность.

    Таковы характерные черты и возможности приема абстрагирования в его органическом единстве с методами восхождения от абстрактного к конкретному, анализа и синтеза.

    Но в чем же заключается своеобразие математических абстракций?

    Специфика математических абстракций

    Как уже отмечалось, процесс абстрагирования в обычных науках заключается в мысленном отвлечении от несуществующих сторон изучаемого предмета. Однако в математике все оказывается

    более сложным. Имеются ли такие исходные понятия, которые отображали бы реально существующие свойства и стороны предмета, явления, процесса? Подавляющее большинство ученых дает на

    этот вопрос отрицательный ответ.

    И вот почему. Возьмем, к примеру, такую область математики, как геометрию. В материальной действительности мы, строго говоря, не найдем квадрата, треугольника, прямой линии и

    тому подобных объектов. Иначе говоря, формирование этих объектов нельзя понимать как результат выделения человеком каких-то математических свойств в явлениях внешнего мира. Они –

    результат творческого воображения, логического конструирования, идеализации.

    Среди ученых бытуют противоположные взгляды, в частности, утверждение о том, что математические свойства и фигуры есть не что иное, как плод чистой фантазии, который ничего

    общего не имеет с объективной реальностью. Голландский ученый А. Гейтинг писал, что математика «не выражает истину о внешнем мире, а связана исключительно с умственными построениями».

    Это утверждение ставит исследователя на ошибочные позиции наивного реализма, идеализма, априоризма и конвенционализма. А Энгельс писал: «Понятия и фигуры взяты не откуда-нибудь, а из

    действительного мира. Десять пальцев, на которых люди научились считать, т.е. производить первую арифметическую операцию, представляют собой все, что угодно,

    только не продукт свободного творчества разума». Позже он дополнил свою мысль: «мы доходим до продуктов свободного творчества и воображения самого разума», т.е. до

    таких понятий, связь которых с окружающим миром непосредственно не просматривается.

    Как же исторически и логически происходил процесс образования исходных понятий натурального числа в арифметике и фигуры в геометрии?

    Как показывают исследователи древней культуры, в ранний период развития общества люди не имели понятия числа, хотя своеобразный счет ими, конечно, осуществлялся: скажем,

    величину стада овец они выражали с помощью пальцев рук. Со временем количество объектов стали определять путем отождествления их совокупности с равночисленным множеством других

    предметов. Например, одна из гипотез об изготовлении гигантских статуй на острове Пасхи звучит так:

    туземцы вытесывали туловища из серого камня и «парики» из красного в разных каньонах и, не умея считать, они были вынуждены употреблять камешки, сопоставляя их

    сначала с телами, а потом с головами.

    Как мы видим, первоначально человек не отделял количество вещей от них самих, используя так называемые «именованные числа» - две руки, три пальца т т.п. Человек не абстрагировал

    понятие числа от понятия вещи. Этому он научился значительно позже. Человек начал пользоваться рядом натуральных, порядковых и количественных чисел.

    Абстракция отождествления и понятие числа

    Это был гигантский скачок в совершенствовании представлений человека о мире, как писал Д. Гильберт. При этом в сложном процессе становления понятия натурального числа

    первостепенное значение имела фундаментальная для науки абстракция отождествления. Кстати, использование ее далеко не ограничивается областью математики, как писала С.А. Янковская.

    Существенно, что выявление тождества не только не исключает, но, наоборот, предполагает различия между сопоставляемыми объектами. Без единства этих противоположностей сравнение как

    таковое теряет всякий смысл.

    Эта абстракция использовалась Карлом Марксом в

    научной теории стоимости.

    Итак, практические потребности в счете и измерениях, связанные с развитием общественного производства и совершенствованием экономики, явились причиной такого революционного

    акта, как возникновение понятия натурального числа, что, в свою очередь, послужило исторически исходным пунктом дальнейшего развития математики. А поскольку решающую роль сыграла

    абстракция отождествления, то логическое определение понятия числа осуществляется с обязательным ее использованием.

    По мнению известного ученого Г.Фрёге, число есть не что иное, как общее свойство класса эквивалентных множеств – совокупностей предметов независимо от их качественной

    определеннос...

    Забрать файл

    Похожие материалы:


ПИШЕМ УНИКАЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Заказывайте напрямую у исполнителя!


© 2006-2016 Все права защищены