Теорема Безу

    Дисциплина: Разное
    Тип работы: Реферат
    Тема: Теорема Безу

    Теорема Безу

    Этьен

    Безу

    французский математик, член Парижской Академии Наук( с 1758 года ), родился в

    Немуре 31 марта 1730 года и умер 27 сентября 1783 года.

    С 1763 года Безу преподавал математику в училище

    гардемаринов, а с 1768 года и в королевском артиллерийском корпусе.

    Основные работы

    Этьена Безу относятся к высшей алгебре,

    они

    посвящены

    созданию

    теории

    решения

    алгебраических

    уравнений. В теории решения систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории определителей , развивал

    теорию исключения

    неизвестных из систем уравнений высших степеней, доказал

    теорему

    (впервые

    сформулированную

    Маклореном ) о том , что две кривые порядка

    пересекаются не более чем в

    точках. Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года был очень популярен его

    шеститомный“Курс математики “, написанный им в 1764-69 годах. Безу развил метод неопределённых множителей, в элементарной алгебре его именем назван способ решения систем

    уравнений, основанный на этом методе . Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике. Именем учёного названа одна из основных теорем алгебры.

    Теорема

    Безу.

    Остаток

    от

    деления

    полинома

    на двучлен

    равен

    значению

    этого полинома

    при

    Пусть :

    – данный многочлен степени

    двучлен

    его делитель,

    – частное от деления

    на

    (многочлен

    степени

    -1 ) ,

    R – остаток от деления (

    не

    содержит

    переменной

    как делитель первой степени

    относительно

    x ).

    Доказательство :

    Согласно правилу деления многочленов с остатком

    можно записать :

    = (x-a)Q

    (x) + R

    Отсюда

    при

    = (a-a)Q

    (a) + R

    =0*Q

    (a)+R=

    Значит ,

    т.е.

    остаток

    от

    деления

    полинома

    на

    равен

    значению

    этого

    полинома

    при

    что

    требовалось

    доказать .

    Следствия

    из

    теоремы

    Следствие 1

    Остаток

    от деления

    полинома

    на

    двучлен

    равен

    значению

    этого

    полинома

    при

    (-b/a) .

    Доказательство :

    Согласно

    правилу

    деления

    многочленов :

    (x)= (ax + b)

    (x) + R

    При

    x= -b/a :

    (-b/a) = (a

    -b/a

    (-b/a) + R = R.

    Значит ,

    a) , что

    требовалось доказать.

    Следствие 2

    Если

    число

    является

    корнем

    многочлена

    то

    этот

    многочлен

    делится

    на

    без

    остатка .

    Доказательство :

    По

    теореме

    Безу

    остаток

    от

    деления

    многочлена

    на

    равен

    по

    условию

    является

    корнем

    это

    значит ,

    что

    ) = 0

    что

    требовалось

    доказать .

    Из

    данного

    следствия

    теоремы

    Безу

    видно ,

    что

    задача

    решения

    уравнения

    ) = 0

    равносильна

    задаче выделения

    делителей

    многочлена

    имеющих

    первую

    степень

    ( линейных

    делителей ) .

    Следствие 3

    Если

    многочлен

    имеет

    попарно

    различные

    корни

    , … ,

    то он делится

    на

    произведение

    ) … (

    без

    остатка

    Доказательство :

    Проведём

    доказательство

    помощью

    математической

    индукции

    по

    числу

    корней .

    При

    утверждение

    доказано

    следствии 2

    Пусть

    оно

    уже

    доказано

    для

    случая , когда

    число

    корней

    равно

    это

    значит ,

    что

    делится

    без

    остатка

    на

    ) … (

    , где

    , … ,

    его

    корни .

    Пусть

    имеет

    попарно

    различных

    корней .По

    предположению

    индукции

    , … ,

    являются

    корнями многочлена,

    а , значит, многочлен

    делится

    на

    произедение

    ) … (

    откуда выходит ,

    что

    P(x) = (x-a

    ) … (x-

    k)Q(x).

    При

    этом

    – корень

    многочлена

    т. е.

    Значит ,

    подставляя

    вместо

    получаем

    верное

    равенство :

    ) = (a

    ) … (a

    )Q(a

    =0 .

    Но

    отлично

    от

    чисел

    , … ,

    потому

    ни

    одно

    из

    чисел

    , … ,

    не

    равно

    Следовательно ,

    нулю

    равно

    т. е.

    – корень

    многочлена

    . А

    из

    следствия 2

    выходит ,

    что

    делится

    на

    без остатка .

    ) = (

    потому

    P(x) = (x-a

    ) … (x-

    k)Q(x) =

    ) … (

    Это

    означает ,

    что

    делится

    на

    ) … (

    без

    остатка .

    Итак,

    доказано ,

    что

    теорема

    верна

    при

    из

    её

    справедливости

    при

    вытекает ,

    что

    она

    верна

    при

    Таким

    образом,

    теорема

    верна

    при

    любом

    числе

    корней ,

    что

    требовалось

    доказать .

    Следствие 4

    Многочлен

    степени

    имеет

    не

    более

    различных корней .

    Доказательство :

    Воспользуемся методом от противного: если

    бы

    многочлен

    степени

    имел

    бы

    более

    корней

    , … ,

    его

    корни ) ,

    тогда

    бы по

    ранее

    доказанному

    следствию 3

    он

    бы

    делился

    на произведение

    ) … (

    имеющее

    степень

    , что

    невозможно .

    Мы

    пришли

    противоречию ,

    значит

    наше

    предположение

    неверно

    многочлен

    степени

    не

    может

    иметь

    более ,

    чем

    корней ,

    что

    требовалось

    доказать .

    Следствие 5

    Для

    любого

    многочлена

    числа

    разность

    делится

    без

    остатка

    на

    двучлен

    Доказательство :

    Пусть

    – данный

    многочлен

    степени

    любое число .

    Многочлен

    можно

    представить

    виде :

    где

    – многочлен ,

    частное

    при

    делении

    на

    – остаток

    от

    деления

    на

    Причём

    по

    теореме

    Безу :

    n(a) ,

    n(x)=(x-a)Q

    (x)+

    n(a)

    Отсюда

    x) -

    a) = (

    x) ,

    а это и означает делимость без остатка (

    ) –

    на

    что

    требовалось

    доказать .

    Следствие 6

    Число

    является

    корнем

    многочлена

    степени

    не

    ниже

    первой

    тогда

    только

    тогда ,

    когда

    делится

    на

    без

    остатка

    Доказательство :

    Чтобы

    доказать

    данную

    теорему

    требуется

    рассмотреть необходимость и достаточность

    сформулированного

    условия .

    1.Необходимость

    Пусть

    – корень

    многочлена

    тогда

    по

    следствию

    делится

    на

    без

    остатка .

    Таким

    образом

    делимость

    на

    является

    необходимым

    условием

    для

    того ,

    чтобы

    являлось

    корнем

    т.к.

    является

    следствием

    из

    этого .

    Достаточность

    Пусть

    многочлен

    делится

    без

    остатка

    на

    тогда

    где

    – остаток

    от

    деления

    на

    но

    по

    теореме

    Безу

    откуда

    выходит ,

    что

    ) = 0

    это

    означает ,

    что

    является

    корнем

    Таким

    образом

    делимость

    на

    является и достаточным

    условием

    для

    того ,

    чтобы

    являлось

    корнем

    Делимость

    на

    является

    необходимым

    достаточным

    условием

    для

    того,

    чтобы

    являлось

    корнем

    что

    требовалось

    доказать .

    Следствие 7(авторское)

    Многочлен ,

    не

    имеющийй

    действи-

    тельных

    корней ,

    разложении

    на

    множители линейных

    множителей

    не

    содержит .

    Доказательство :

    Воспользуемся методом от противного:

    предполо-жим , что не имеющий корней многочлен

    при

    разложении

    на

    множители

    содержит

    линейный множитель

    P(x) = (x – a)Q(x)

    тогда бы он

    делился

    на

    но

    по следствию 6

    являлось

    бы

    корнем

    по

    условию

    он

    корней

    не содержит . Мы

    пришли

    противоречию ,

    значит

    наше

    предположение

    неверно

    многочлен ,

    не

    имеющий

    действительных

    корней , в разложении

    на

    множители

    линейных

    множителей не содержит ,

    что

    требовалось

    доказать .

    На

    основании

    теоремы

    Безу

    следствия 5 можно

    доказать

    следующие

    утверждения:

    1. Разность

    одинаковых

    натуральных

    степеней

    на

    разность

    их

    оснований

    делится

    без

    остатка :

    Пусть

    P(x) =

    P(a) = a

    тогда

    разность

    одинаковых

    натуральных

    степеней .

    По

    следствию 5

    P(x) -

    P(a) =

    n – a

    n = (x – a)Q(x) ,

    это значит ,

    что

    n–a

    n)/(x–a)=Q(x),

    разность

    одинаковых

    натуральных

    степеней на

    разность их

    оснований

    делится

    без

    остатка ,

    что

    требовалось

    доказать .

    Итак

    n – a

    n)/(x – a) = x

    n-1 + ax

    n-2 + a

    n-3 + … +a

    n-2x + a

    n-1.

    2. Разность

    одинаковых

    чётных

    степеней

    на

    сумму

    их

    оснований

    делится

    без

    остатка .

    Пусть

    P(x) = x

    2k ,

    тогда

    P(a) = a

    2k .

    Разность

    одинаковых

    чёт...

    Забрать файл

    Похожие материалы:


ПИШЕМ УНИКАЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Заказывайте напрямую у исполнителя!


© 2006-2016 Все права защищены