Геометрические характеристики поперечных сечений

    Дисциплина: Технические
    Тип работы: Реферат
    Тема: Геометрические характеристики поперечных сечений

    Основы конструирования приборов

    Реферат по теме

    Геометрические характеристики поперечных сечений

    Студента группы ИУ 3-32

    Кондратова Николая

    Статические моменты сечения

    Возьмем некоторое поперечное се­чение бруса (рис. 1). Свяжем его с системой координат х, у и рас­смотрим два следующих интеграла:

    Рис. 1

    где индекс F у знака интеграла указывает на то, что интегрирование ведется по всей площади сечения. Каждый из интегралов представ­ляет собой сумму произведений,

    элементарных площадок

    на рас­стояние до соответствующей оси (х или у). Первый интеграл называется статическим моментом сечения относительно оси х, а второй — относительно оси у. Размерность

    статического момента см

    3. При параллельном переносе осей величины статических моментов меняются. Рассмотрим две пары параллельных осей

    2, y

    Пусть расстояние между осями

    равно

    а между осями

    равно а (рис. 2). Положим, что площадь сечения F и статические моменты относительно осей

    и y

    т. е.

    заданы. Требуется определить

    Очевидно, х

    — а,

    1 —

    Искомые статические мо­менты будут равны

    или

    Таким образом, при параллельном переносе

    осей статический момент меняется на величину, равную произведению площади F на расстояние между осями.

    Рассмотрим более детально, например, первое из полученных выра­жений:

    Величина

    может быть любой: как положительной, так и отрицательной. Поэтому ее всегда можно подобрать (причем единственным образом) так, чтобы произведение

    было равно

    Тогда статический момент

    относительно оси

    обращается в нуль.

    Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной. Среди семейства параллельных осей она является единственной, и расстояние до этой оси от

    некоторой, про­извольно взятой, оси х

    равно

    Рис. 2

    Аналогично для другого семейства параллельных осей

    Точка пересечения центральных осей называется центром тяже­сти сечения. Путем поворота осей можно показать, что статический момент относительно любой оси, проходящей

    через центр тяжести, равен нулю.

    Нетрудно установить тождественность данного определения и обычного определения центра тяжести как точки приложения равно­действующих сил веса. Если уподобить рассмотренное

    сечение одно­родной пластинке, то сила веса пластинки во всех точках будет пропорциональна элементарной площади dF, а момент сил веса

    относительно некоторой оси — пропорционален статическому мо­менту. Этот момент сил веса относительно оси, проходящей через центр тяжести, равен нулю. В нуль обращается,

    следовательно, и статический момент относительно центральной оси.

    Моменты инерции сечения

    В дополнение к статическим моментам рассмотрим еще три сле­дующих интеграла:

    Через х и у обозначены текущие координаты эле­ментарной площадки

    в произвольно взятой системе координат х,

    . Первые два интеграла называются осевыми момен­тами инерции сечения относительно осей х и

    соответственно. Третий интеграл называется центробежным моментом инерции сечения относительно осей х, у. Размерность моментов инерции см

    Осевые моменты инерции всегда положительны, поскольку поло­жительной считается площадь dF. Центробежный момент инерции может быть как положительным, так и отрицательным,

    в зависи­мости от расположения сечения относительно осей х, у.

    Выведем формулы преобразования моментов инерции при парал­лельном переносе осей. Будем считать, что нам заданы моменты инерции и статические моменты относительно осей х

    1 и

    . Требуется определить моменты инерции относительно осей

    Подставляя сюда х

    — а и

    и раскрывая скобки (согласно (1) и (2)) находим

    Если оси

    — центральные, то

    = 0. Тогда

    Следовательно, при параллельном переносе осей (если одна из осей — центральная) осевые моменты инерции меняются на величину, равную произведению площади на квадрат расстояния между

    осями.

    Из первых двух формул (4) следует, что в семействе парал­лельных осей минимальный момент инерции получается относи­тельно центральной оси (а = 0 или Ь = 0). Поэтому легко

    запом­нить, что при переходе от центральных осей к нецентральным осе­вые моменты инерции увеличиваются и величины

    следует к моментам инерции прибавлять, а при переходе от нецентральных осей к центральным — вычитать.

    При определении центробежного момента инерции по формулам (

    ) следует учитывать знак величин а и

    Можно, однако, и сразу установить, в какую сторону меняется величина

    при параллельном пере­носе осей. Для этого следует иметь в виду, что часть площади, находя­щаяся в I и III квадрантах системы координат

    , дает поло­жительное значение центробежного момента, а части, находящиеся в II и IV квадрантах, дают отрицательные значения. Поэтому при переносе осей проще всего

    устанавливать знак сла­гаемого abF в соответствии с тем, ка­кие из четырех слагаемых площадей увеличиваются и какие — уменьшают­ся.

    ГЛАВНЫЕ ОСИ И ГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ

    Рис. 3

    Посмотрим, как изменяют­ся моменты инерции при по­вороте осей координат. Поло­жим, даны моменты инерции некоторого сечения относительно осей х, у (не обязательно

    центральных). Требуется определить

    u, J

    моменты инерции относительно осей и,

    повернутых относительно первой системы на угол

    (рис. 3).

    Проектируем замкнутый четырехугольник ОАВСО на оси и и v. Так как проекция ломаной линии равна проекции замыкающей, на­ходим:

    u = y sin

    +x cos

    v = y cos

    — x sin

    В выражениях

    , подставив вместо

    1 и y

    1 соответственно u

    v, исключаем u

    откуда

    Рассмотрим два первых уравнения. Складывая их почленно, получим, что сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей не зависит от угла

    и при пово­роте осей остается постоянной. При этом

    2 + y

    где

    — расстояние от начала координат до элементарной площадки (рис.

    ). Таким образом,

    x + J

    y = J

    где

    p—

    полярный момент инерции

    величина которого, естественно, не зависит от поворота осей ху.

    С изменением угла поворота осей

    каждая из величин

    меняется, а сумма их остается неизменной. Следовательно, сущест­вует такое

    при котором один из моментов инерции достигает своего максимального значения, в то время как другой момент инер­ции принимает минимальное значение.

    Дифференцируя выражение

    (5) по

    и приравнивая произ­водную нулю, находим

    При этом значении угла

    один из осевых моментов будет наиболь­шим, а другой — наименьшим. Одновременно центробежный момент инерции

    при указанном угле

    обращается в нуль, что легко устанавливается из третьей формулы (5).

    Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты принимают экстремальные значения, назы­ваются главными осями. Если они к тому же

    являются централь­ными, то тогда они называются главными центральными осями. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции. Для определения

    этого первые две формулы (5) перепишем в виде

    Далее исключаем при помощи выражения (6) угол

    . Тогда

    Верхний знак соответствует максимальному моменту инерции, а нижний — минимальному. После того как сечение вычерчено в масштабе и на чертеже показано положение главных осей, нетрудно

    установить, кото...

    Забрать файл

    Похожие материалы:


ПИШЕМ УНИКАЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Заказывайте напрямую у исполнителя!


© 2006-2016 Все права защищены