Алгебраические системы

    Дисциплина: Разное
    Тип работы: Курсовая
    Тема: Алгебраические системы

    Оглавление
    Введение
    §1. Алгебра и алгебраические системы
    п.1. Бинарные и n-местные операции.
    п.2. Понятие алгебры.
    §2. Система натуральных чисел. Принцип математической индукции. Теоремы математической индукции
    п.1. Аксиоматическая система натуральных чисел.
    п.2. Теоремы математической индукции.
    п.3. Основное свойство ассоциативных операций.
    §3. Группы. Примеры групп. Простейшие свойства групп. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Подгруппы
    п.1. Понятие группы.
    п.2. Примеры групп.
    п.3. Простейшие свойства групп.
    п.4. Гомоморфизмы групп.
    п.5. Изоморфизмы групп.
    п.6. Подгруппы.
    §4. Подстановки
    п.1. Симметрическая группа степени
    п.2. Чётные и нечётные подстановки.
    п.3. Знак подстановки.
    п.4. Разложение подстановок. Произведение циклов.
    §5. Кольца. Примеры колец. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец. Подкольца. Кольцо целых чисел
    п.1. Понятие кольца.
    п.2. Примеры колец.
    п.3. Простейшие свойства кольца.
    п.4. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.
    п.5. Подкольца.
    п.6. Аксиоматическое определение кольца целых чисел.
    §6. Поле. Примеры полей. Свойства полей. Поле рациональных чисел
    п.1. Определение поля.
    п.2. Простейшие свойства поля.
    п.3. Подполе.
    п.4. Поле рациональных чисел.
    §7. Поле комплексных чисел
    . 38
    п.1. Построение поля комплексных чисел.
    п.2. Алгебраическая форма записи комплексных чисел.
    п.3. Операция сопряжения.
    п.4. Модуль комплексного числа.
    п.5. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
    п.6. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
    п.7. Показательная форма записи комплексного числа.
    п.8. Связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями.
    п.9.
    Корни из комплексных чисел.
    п.10. Мультисекция.
    п.11. Упорядоченные поля.
    §8. Перестановки
    . 52
    п.1.
    - перестановки...............................................................................................................52
    п.2.
    -элементные подмножества (
    - сочетания)...............................................................53
    п.3.
    Перестановки с повторениями......................................................................................54
    Задачник
    .............................................................................................56
    Заключение
    Литература
    Введение
    На рубеже
    столетий алгебра претерпела важное качест­венное изменение, которое можно охарактеризовать как переход к изуче­нию абстрактных систем объектов. До этого
    момента основное внимание уделялось в алгебре конкретным системам, таким как различные числовые системы, системы матриц, перестановок и т.д. Новый этап в развитии ал­гебры ознаменовался
    полным отвлечением от природы и способов по­строения объектов системы, и единственным предметом изучения стали отношения между этими объектами. Современная алгебра имеет дело про­сто с
    системами объектов, для которых определены некоторые опера­ции и отношения, удовлетворяющие тем или иным требованиям; что именно стоит за объектами системы- матрицы, уравнения, числа и
    т.д.- для ал­гебры безразлично, важно только, чтобы заданные операции и отноше­ния были определены и заданные требования для этих операций и отноше­ний выполнялись.
    Цель работы: теоретическое обоснование и необходимость практиче­ского применения на множествах алгебраических систем и операций над ними.
    Данная курсовая работа состоит из теории важнейших алгебраических систем и содержит введение, 8 параграфов, разбитых на пункты, задачника, заключения и
    списка литературы.
    В §1 рассматриваются бинарные и
    -местные операции, виды бинарных операций, вводятся понятия алгебры, подалгебры, алгебраической системы, приводятся примеры.
    В §2 содержится определение системы натуральных чисел (системы Пеано), аксиоматической системы Пеано, доказываются теоремы математической индукции,
    вводится определение чисел Фиббоначи и формула Бине для вычисления чисел Фиббоначи с доказательством.
    В §3 даны определения группы, абелевой, бесконечной, аддитивной, мультипликативной и коммутативной групп, гомоморфизмов и изоморфизмов групп, приведены
    примеры групп и их простейшие свойства с доказательствами.
    В §4 представлены понятия подстановки, умножения подстановок, единичной подстановки, четной и нечетной подстановок, транспозиции, лемма о нечетности
    транспозиции, знак подстановки, теорема о знаке произведения, свойства знаков подстановок, определения цикла, независимых циклов и свойства циклов.
    В §5 для изучения предлагаются понятия кольца, коммутативного кольца и области целосности, гомоморфизма и изоморфизма колец, подкольца, а так же свойства
    кольца целых чисел.
    В §6 рассматривается определение поля, примеры и простейшие свойства полей, определения подполя, простого поля и поля рациональных чисел.
    §7 изучает вопросы поля комплексных чисел, описывается построение поля комплексных чисел, приводятся алгебраическая форма записи комплексных чисел,
    определение комплексного числа, действия над комплексными числами, определение сопряженного, свойства и операции сопряжения, определение модуля комплексного числа и его свойства,
    геометрический смысл комплексного числа, тригонометрическая показательная форма записи, вводится понятние корня из комплексного числа и понятие упорядоченного поля, доказываются теорема
    и следствие о мультисекции многочлена.
    В §8 описываются понятия
    -перестановок множества,
    -сочетания, перестановки с повторениями.
    §1. Алгебра и алгебраические системы
    п.1. Бинарные и n-местные операции.
    Пусть
    - непустое множество, то есть
    Определение.
    Бинарной операцией на множестве
    называется ото­бражение прямого произведения
    Другими словами: если каждой упорядоченной паре элементов мно­жества
    поставлен в соответствие единственный элемент из
    , то гово­рят, что задана бинарная операция на множестве
    Пример.
    Пусть
    - произвольные высказывания
    - бинарная операция на множестве высказываний.
    Пусть
    - произвольные множества
    - бинарная операция на множестве множеств.
    Пусть
    - бинарная операция на множестве действительных чисел.
    - не является бинарной операцией на множестве
    , так как
    Если
    - произвольная бинарная операция на множестве
    и паре
    ставится в соответствие элемент
    (то есть
    ), то вместо записи
    пишут
    , то есть имеем
    . Элемент
    называется компози­цией элементов
    Определение.
    Пусть
    . Отображение
    назы­вается
    - местной операцией на множестве
    . Число
    - ранг опера­ции.
    Определение.
    Нульместной операцией на множестве
    называется выделение (фиксация) какого-нибудь элемента множества
    . Число
    назы­вается рангом нульместной операции.
    Определение.
    Одноместные операции называются унарными опера­циями. Другими словами: унарная операция каждому элементу из множе­ства
    ставит в соответствие элемент из множества
    , то есть унарная опе­рация – это отображение множества
    во множество
    Унарную операцию называют оператором.
    Пример.
    Пусть
    - множество натуральных чисел
    - унарная операция
    - не является унарной операцией
    На множестве высказываний операция
    - унарная опера­ция
    На множестве подмножеств универсального множества операция до­полнения – унарная операция.
    Определение.
    Отображение из множества
    называется частич­ной
    - местной операцией на множестве
    , если область определе­ния отображения не совпадает с
    Виды бинарных операций
    Пусть
    - бинарные операции на множестве
    Операция
    - коммутативна на множестве
    Операция
    - ассоциативна на множестве
    Операция
    - дистрибутивна слева относительно операции
    Операция
    дистрибутивна справа относительно операции
    Пример.
    Операция
    на множестве
    - коммутативна, ассоциативна.
    Операция
    на множестве
    - коммутативна, ассоциативна.
    На множестве множеств операции
    дистрибутивны относи­тельно друг друга.
    На множестве функций композиция функций - ассоциативная опера­ция, не является коммутативной операцией.
    п.2. Понятие алгебры.
    Определение.
    Алгебра
    , где
    - множество опера­ций на
    Другими словами: если мы говорим об алгебре, то считаем, что за­дано множество и заданы операции.
    Пример.
    Пусть
    - множество высказываний
    - алгебра логики высказываний.
    Пусть
    - множество натуральных чисел
    - алгебра натуральных чисел относительно операций
    Определение.
    Алгебра
    называется подалгеброй алгебры
    , если множество
    - ограничение операции
    Определение.
    Алгебраическая система
    - это упорядоченная тройка
    , где
    - множество операций на
    - мно­жество отношений на
    §2. Система натуральных чисел. Принцип математиче­ской индукции. Теоремы математической индукции
    п.1. Аксиоматическая система натуральных чисел.
    Определение.
    Системой натуральных чисел (системой Пеано) назы­вается алгебра
    , где
    - бинарные операции,
    - унарная опе­рация (функция «следования»),
    - выделенный элемент в множестве
    , для которой выполнены следующие аксиомы:
    Для
    (элемент
    называется следующим за
    Для
    Для
    Для
    Аксиома индукции: Пусть
    . Если множество
    удовлетворяет условиям:
    б) для
    то
    Система аксиом Пеано обладает тем свойством, что ни одна из ак­сиом системы не является следствием других аксиом.
    Из системы аксиом Пеано можно вывести все известные нам свой­ства натуральных чисел.
    п.2. Теоремы математической индукции.
    Теорема 1.
    (принцип полной математической индукции). Пусть
    - одноместный предикат на
    , который удовлетворяет условиям:
    истина.
    - истина
    - истина).
    Тогда предикат
    тождественно истинен на
    Доказательство.
    Обозначим через
    множество всех тех
    , для которых
    истина. Проверим, что
    удовлетворяет условиям аксиомы индукции.
    Т.к.
    - истина, то
    Если
    , то
    - истина и по второму условию теоремы индук­ции
    - истина. Поэтому
    Множество
    удовлетворяет условиям аксиомы индукции. Поэтому
    Обозначение.
    Множество целых чисел
    состоит из натуральных чисел, нуля и чи­сел противоположных натуральным.
    Для
    обозначим
    Теорема 2.
    (обобщение принципа полной математической индук­ции). Пусть
    - одноместный предикат на
    , где
    , который удовлетворяет условиям:
    истина.
    - истина
    - истина).
    Тогда предикат
    тождественно истинен на
    Теорема 3.
    (сильная форма принципа полной математической ин­дукции). Пусть
    - одноместный предикат на
    , который удовлетво­ряе...

    Забрать файл

    Похожие материалы:


ПИШЕМ УНИКАЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Заказывайте напрямую у исполнителя!


© 2006-2016 Все права защищены