Гамма функции

    Дисциплина: Разное
    Тип работы: Курсовая
    Тема: Гамма функции

    Бэта-функции
    Бэта – функции определяются интегралом Эйлера первого рода:
    (1.1)
    сходятся при
    т.e. аргумент
    входят в
    симетрично. Принимая во внимание тождество
    по формуле интегрирования почестям имеем
    Откуда
    (1.2)
    При целом
    последовательно применяя(1.2)
    Получим
    (1.3)
    при целых
    ,имеем
    но
    (1,1) = 1,следовательно:
    Положим в (1.1)
    .Так как график функции
    и в результате подстановки
    полагая в(1.1)
    ,откуда
    (1.4)
    разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и
    от 1 до
    и применение ко второму интегралу подстановки
    Гамма-функция
    Гамма функцию определяет интеграл Эйлера второго рода
    (2.1)
    сходящийся при
    0.Положим
    0 ,имеем
    и после замены
    через 1+
    ,получим
    Умножая это равенство и интегрируя по
    и пределах от 0 до
    , имеем:
    или на основании (1.4) и после изменения в правой части порядка интегрирования ,получаем:
    откуда
    (2.2)
    заменяя в (2,1)
    ,на
    и интегрируем по частям
    получаем рекурентною формулу
    так как
    но при целом
    имеем
    (2.4)
    то есть при целых значениях аргумента гамма-функция превращается в факториал.Порядок которого на единицу меньше взятого значения аргумента.При
    (2.4) имеем
    3. Производная гамма функции
    Интеграл
    сходится при каждом
    при
    В области
    и можна применить признак Веерштраса. Сходящимся при всех значениях
    является и весь интеграл
    так как и второе слогаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом
    где
    произвольно.Действительно для всех указаных значений
    ходится равномерно.
    Отсюда вытекает непрерывность гамма функции при
    функция
    непрерывна при
    сходится равномерно на каждом сегменте
    . Выберем число
    так , чтобы
    при
    такое , что
    на
    справедливо неравенство
    и так как интеграл
    сходится, то интеграл
    сходится равномерно относительно
    на
    существует такое число
    выполняется неравенство
    и всех
    получим
    в силу признака сравнения следует , что интеграл
    сходится равномерно относительно
    на
    в котором подынтегральная функция непрерывна в области
    интеграл
    сходится равномерно , а, следовательно , гаммма функция бесконечно дифференцируема при любом
    и справедливо равенство
    Относительно интеграла
    По индукции доказывается , что Г-функция бесконечно дифференцируема при
    Изучим теперь поведение
    Из выражения для второй производной
    для всех
    возрастает. Поскольку
    [1,2]
    производная
    при
    при
    Монотонно убывает на
    из формулы
    при
    Равенство
    Положим для
    из (-1,0). Получаем, что так продолженная функция
    принимает на (-1,0) отрицательные значения и при
    функция
    Определив таким образом
    той же формуле продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением
    окажется функция, принимающая положительные значения и такая, что
    Отметим еще раз, что интеграл
    определяет Г-функцию только при положительных значениях
    (рис.1)
    Вычисление некоторых интегралов.
    Формула Стирлинга
    Применим гамма функцию к вычислению интеграла:
    где
    -1.Полагая , что
    и на основании (2.2) имеем
    (3.1)
    В интеграле
    Где
    0,достаточно положить
    Интеграл
    Где
    0,разложить в ряд
    где
    Рассмотрим неполные гамма функции (функции Прима)
    связанные неравенством
    Разлагая,
    в ряд имеем
    Переходя к выводу формулы Стирлинга , дающей в частности
    приближенное значение
    ! при больших значениях
    ,рассмотрим предварительно вспомогательную функцию
    (3.2)
    Непрерывна на интервале (-1,
    до
    при изменении
    от
    до
    и обращаются в 0
    при
    = 0.Так как
    то
    0 и
    при
    0 , далее имеем
    И так производная непрерывна и положительна во всем интервале
    Из предыдущего следует, что существует обратная функция,
    определенная на интервале
    непрерывная и монотонно возрастающая в этом интервале,
    Обращающаяся в 0 при
    =0 и удовлетворяющая условие
    (3.3)
    Формулу Стирлинга выведем из равенства
    полагая
    Положим далее
    = -1при
    при
    .Замечая что(см.3.2)
    имеем
    полагая на конец ,
    или
    в пределе при
    откуда вытекает формула Стирлинга
    которую можно взять в виде
    (3.4)
    где
    ,при
    для достаточно больших
    полагают
    (3.5)
    вычисление же производится при помощи логарифмов
    если
    целое положительное число, то
    и (3.5) превращается в приближенную формулу вычисления факториалов при больших значениях
    приведем без вывода более точную формулу
    где в скобках стоит не сходящийся ряд.
    Примеры
    вычисления интегралов
    Для вычисления необходимы формулы:
    ычислить интегралы
    Міністерство освіти і науки України
    Запорізький державний університет
    ДО
    ЗАХИСТУ
    ДОПУЩЕНИЙ
    Зав. каф.
    Математичного
    аналізу
    д. т. н. проф. ____ С.Ф. Шишканова
    _________________________ 2002р.
    ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА ДО КУРСОВОГО ПРОЕКТУ
    ГАМА ФУНКЦІЇ
    Розробив
    Ст..гр.. 8221-2
    Садигов Р.А.
    Керівник
    Ст. викладач
    Кудря В.І.
    Запоріжжя 2002.
    Содержание
    Задание на курсовую работу
    ........................... ...................................2
    Реферат
    ............................................................. ...................................4
    введение
    ............................................................ ...................................5
    Бета функции…………………………………………….
    .............6
    Гамма функции.
    ...................................... ...................................9
    Производная гамма
    функции
    ............... ..................................11
    Вычисление интегралов формула Стирлинга............................16
    Примеры вычеслений
    ............................. ..................................22
    вывод
    ................................................................ ..................................24
    Список литературы……………………………………………..............25
    Реферат
    Курсовая работа: 24 ст., 5 источников, 1 рис.
    Обьект иследований: гамма и ее приложения.
    В работе идет речь о представлении бета и гамма функций с помощью интегралов Эйлера соответствено первого и второго рода. И о их применении
    для вычисления интегралов.
    Ключевые слова:
    ГАММА
    И БЕТА ФУНКЦИЯ, ИНТЕГРАЛ ЭЙЛЕРА, ПРОИЗВОДНАЯ, ПРЕДЕЛ.
    Введение
    Выделяют особый класс функций, представимых в виде собственого либо несобственого интеграла, который зависит не
    только от формальной переменной, а и от параметра.
    Такие функции называются интегралами зависящими от параметра. К их числу относятся гамма и бета функции Эйлера.
    Бета функции представимы интегралом
    Эйлера первого рода:
    гамма функция представляется интегралом Эйлера второго рода:
    Вывод
    Гамма функции являются удобным средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которые не
    представимы в элементарных функциях.
    Благодаря этому они широко применяются в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях современной науки.
    Список литературы
    Специальные функции и их приложения:
    Лебедев И.И.,М.,Гостехтериоиздат,1953
    2. Математический анализ часть 2:
    Ильин О.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х.,М.,
    ”Московский университет”,1987
    3. Сборник задач по математическому
    анализу:
    Демидович Б.П.,М.,Наука,1966
    4. Интегралы и ряды специальные функции:
    Прудников А.П., Брычков Ю.А.,М.,Наука,1983
    5. Специальные функции:
    Кузнецов , М.,
    Высшая школа
    ”,1965
    Язык: Русский
    Скачиваний: 179
    Формат: Microsoft Word
    Размер файла: 131 Кб
    Автор:
    Скачать работу...

    Забрать файл

    Похожие материалы:


ПИШЕМ УНИКАЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Заказывайте напрямую у исполнителя!


© 2006-2016 Все права защищены