Дифференцированные уравнения

    Дисциплина: Разное
    Тип работы: Курсовая
    Тема: Дифференцированные уравнения

    1.ВВЕДЕНИЕ
    2.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
    2.1.ЗАПИСЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
    В СТАНДАРТНОЙ И ОПЕРАТОРНОЙ ФОРМЕ
    В теории автоматического регулирования в настоящее время принято записывать дифференциальные уравнения в двух формах.
    Первая форма записи
    . Дифференциальные уравнения записываются так, чтобы выходная величина и ее производные находились в левой части уравнения, а входная величина и все остальные
    члены
    в правой части. Кроме того, принято, чтобы, сама выходная величина находилась в уравнении с коэффициентом единица. Такое уравнение имеет вид:
    При такой записи коэффициенты k,k
    1,...,k
    n называют коэффициентами передачи, а T
    1,...,T
    постоянными времени данного звена.
    Коэффициент передачи показывает отношение выходной величины звена к входной в установившемся режиме, т.е. определяет собой наклон линейной статической
    характеристики звена.
    Размерности коэффициентов передачи
    определяются как
    размерность k = размерность y(t) : размерность g(t)
    размерность k1 = размерность y(t) : размерность g(t)
    Постоянными времени T
    1,...,T
    n имеют размерность времени.
    Вторая форма записи
    Считая условно оператор дифференцирования p=
    алгебраической величиной, произведем замену в уравнении (1):
    2.2. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ЗВЕНА
    Решим уравнение (2) относительно выходной величины y(t):
    y(t)=
    1(s)+W
    2(s)+...+W
    n(s)
    Здесь W
    1(s),W
    2(s),...,W
    n(s) - передаточные функции.
    При записи уравнений с изображениями выходной и входной величин по Лапласу передаточные функции сливаются в одну.
    2.3. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНА
    Динамические свойства звена могут быть определены по его переходной функции и функции веса.
    Переходная функция
    h(t) представляет собой переходный процесс на выходе из звена, возникающий при подаче на его вход единичного ступенчатого воздействия - скачкообразного воздействия
    со скачком, равной единице.
    Функция веса w(t) представляет собой реакцию на единичную импульсную функцию. Она может быть получена дифференцированием по времени переходной функции:
    w(t)=
    2.4.ЧАСТОТНАЯ ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЧАСТОТНЫЕ
    ХАРАКТЕРИСТИКИ
    Важнейшей характкристикой динамического звена является его частотная передаточная функция. Ее можно получить с помощью передаточной фкнкции, заменив линейный
    оператор s на комплексный j
    Так как передаточная функция есть отношение изображения по Лапласу выходной величины к входной, то при переходе от изображения Лапласа к изображению Фурье, мы
    получим, что частотная передаточная функция является изображением Фурье функции веса, то есть имеет место интегральное преобразование
    W(j)=
    Частотная передаточная функция может быть представлена в следующем виде:
    )=U(
    )+jV(
    где U(
    ) и V(
    ) - вещественная и мнимая части.
    )=A(
    где A(
    ) - модуль частотной передаточной функции, равный отношению амплитуде выходнгой величины к амплитуде входной,
    - аргументчастотной передаточной функции, равный сдвигу фаз выходной величины по отношению к входной.
    Для наглядного представления частотных свойств звена используются так называемые частотные характеристики.
    Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) показывает, как пропускает звено сигнал различой частоты. Оценка пропускания делается по отношению амплитуд выходной и
    входной величин. То есть АЧХ - это модуль частотной передаточной функции:
    АЧХ строят для всео диапазона частот
    , т.к. модуль частотной передаточной функции представляет собой четную функцию частоты.
    Другой важной характеристикой является фазовая частотная характеристика (ФЧХ), которая находится как аргумент частотной передаточной функции:
    =argW(j
    4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ
    4.1. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗВЕНЬЯ
    Позиционные звенья - это такие звенья , в которых выходная и входная величины в установившемся режиме связаны линейной зависимостью y(t)=kg(t).Соответственно,
    переходная функция будет иметь вид W(s)=k
    4.1.1.ИДЕАЛЬНОЕ УСИЛИТЕЛЬНОЕ ( БЕЗЫНЕРЦИОННОЕ ) ЗВЕНО
    1. Данное звено описывается следующим уравнением:
    oy(t)=b
    og(t)
    Коэффициенты имеют следующие значения:
    Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a
    y(t)=
    y(t)=kg(t)
    (2),
    где k=
    Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=
    .Получим:
    y(t)=kg(t)
    2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
    y(t)=Y(s)
    g(t)=G(s)
    По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
    Y(s)=kG(s)
    W(s)=k
    3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых
    начальных условиях, т.е. g(t)=1. Тогда
    h(t)=k1(t)
    Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции:
    w(t)=
    4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики:
    h(t)=2
    1(t)
    w(t)=2
    Переходная функция представляет собой ступенчатую функцию с шагом k=2, а функция веса - импульсную функцию, площадь которой равна k=2.
    5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j
    W(s)=k
    )=U(
    )+jV(
    6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик.
    По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.
    Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции,
    т.е.
    )=argW(j
    Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
    )=20lg A(
    )=20lgk
    7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.
    )=20lg2
    Вывод: Примером рассмотренного звена может являться механический редуктор, делитель напряжения, индукционные датчики и т.д. Но беэынерционное звено является
    некоторой идеализацией реальных звеньев. В действительности ни одно звено не может равномерно пропускать все частоты от нуля до бесконечности. Обычно к такому виду сводится одно из
    реальных звеньев , рассмотренных ниже , если можно пренебречь влиянием динамических процессов.
    4.1.2. УСИЛИТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
    1. Данное звено описывается следующим уравнением:
    oy(t)=b
    og(t-
    Коэффициенты имеют следующие значения:
    =0,1с
    Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a
    y(t)=
    y(t)=kg(t-
    (2),
    где k=
    Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=
    y(t)=kg(t-
    2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
    y(t)=Y(s)
    g(t-
    )=G(s)e
    По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
    Y(s)=kG(s)e
    W(s)= ke
    3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса.
    ПО определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1.Тогда
    h(t)=y(t)=k g(t-
    )=k1(t)
    Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции:
    w(t)=
    4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики:
    h(t)=2
    1(t-
    w(t)=2
    Переходная функция представляет собой ступенчатую функцию с шагом k=2 и запаздыванием на
    =0,1с, а функция веса - импульсную функцию с таким же запаздыванием, площадь которой равна k=2.
    5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j
    W(s)=k e
    )=k e
    =k(cos
    -jsin
    )=U(
    )+jV(
    )=k cos
    )=-ksin
    6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик.
    По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.
    Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции,
    т.е.
    )=argW(j
    Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
    )=20lg A(
    )=20lgk
    7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.
    )=0,1
    )=20lg2
    )=2cos0,1
    )=-2sin0,1
    Вывод:
    4.1.3. УСТОЙЧИВОЕ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 1-го ПОРЯДКА
    1. Данное звено описывается следующим уравнением:
    oy(t) =b
    og(t)
    Коэффициенты имеют следующие значения:
    1=1,24
    Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
    (2),
    где k=
    Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=
    .Получим:
    1 p+1)y(t)=kg(t)
    2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
    y(t)=Y(s)
    g(t)=G(s)
    По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
    1 sY(s)+Y(s)=kG(s)
    W(s)=
    3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых
    начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа
    h(t)=H(s)
    H(s)=W(s)
    Переходя к оригиналу, получим
    h(t)=k
    1(t)
    Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции
    w(t)=
    или из преобразований Лапласа
    w(t)=w(s)
    w(s)=W(s)
    W(s)=
    Переходя к оригиналу, получим
    w(t)=
    1(t)
    4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные
    характеристики:
    1 =0.62
    h(t)=2
    1(t)
    w(t)=3.2e
    1(t)
    Переходная функция представляет собой экспоненту. Множитель 1(t) указывает ,что экспонента рассматривается только для положительного времени t0. Функция веса
    - также экспонента, но со скачком в точке t=0 на величину
    5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на j
    W(s)=
    )=U(
    )+jV(
    6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик.
    По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции,т.е.
    Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.
    )=argW(j
    )=arctgk - arctg
    )=-arctgT
    Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
    )=20lg A(
    )=2...

    Забрать файл

    Похожие материалы:


ПИШЕМ УНИКАЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Заказывайте напрямую у исполнителя!


© 2006-2016 Все права защищены