Ряд Тэйлора, законы физики и численное интегрирование дифференциальных уравнений

    Дисциплина: Разное
    Тип работы: Курсовая
    Тема: Ряд Тэйлора, законы физики и численное интегрирование дифференциальных уравнений

    Законы физики
    родом из
    законов математики.
    Как-то на лекциях в бауманке нам по математике рассказали про ряд Тэйлора (бауманку я закончил в 1993, а когда были лекции по Тэйлору уже и не помню). Тогда меня сразу
    же зацепила одна очень авантюрная мысль, но мне было лениво, а точнее сказать было негде её обсудить и негде опубликовать (ну раз не очевидно где публиковать, то и лениво с
    этим связываться). А сейчас на дворе «поколение интернет» и вполне без препятствий можно выложить в сетку «предположение-гипотезу» для обсуждения.
    Ну вот, вспомнив эту очень авантюрную мысль, я как-то от скуки скачал откуда-то из интернета формулу ряда Тэйлора, а то совсем её забыл:
    То есть ряд Тэйлора можно записать в виде:
    ’(
    0)*(
    ’’(
    0)*(
    0)*(
    0)/2+
    ’’’(
    0)*(
    0)*(
    0)*(
    0)/3!+ …
    (0)+
    ’(0)*
    ’’(0)*
    /2 +
    ’’’(0)*
    /3! + …
    А теперь собственно
    гипотеза о возможном сопоставлении элементов ряда Тэйлора и законов физики.
    Второй элемент ряда Тэйлора:
    ’(0)*
    Пример1
    («Количество движения»
    1 - масса перемноженная на скорость. И это, например, квазистационарный, то есть не рассматривающийся во временном изменении, закон, например, реактивного движения: масса
    ракеты на скорость ракеты равна массе сгораемого топлива на скорость вылета топлива из ракеты – кажется, так формулируется)
    Пример2
    («Количество сжатия» пружины или проще «сила сжатия пружины». Жёсткость пружины перемноженная на сжатие пружины – это, например, квазистационарный закон в виде: сила
    приложенная к пружине жёсткости к1 вызывает её удлинение на х1, а та же сила приложенная к пружине жёсткостью к2 вызывает её удлинение на х2, то есть параметры разных пружин
    приравниваются через одинаковую приложенную силу – так можно сказать)
    Гипотеза:
    - это тип записи и некоторых
    физических понятий и одновременно тип записи
    законов физики «по второму элементу ряда Тэйлора», то есть можно записать некоторое физическое понятие типа
    ’(0)*
    и можно записать некоторый физический закон типа
    1’(0)*
    2’(0)*
    , а точнее - закон в виде
    1’(0)*
    2’(0)*
    constant
    , а ещё точнее - закон в векторном виде
    вектор
    {F1’(0)*x1} +
    вектор
    {F2’(0)*x2} = constant_vector.
    Третий элемент ряда Тэйлора:
    F’’(0)*x*x/2:
    Пример
    m1*v1*v1/2 + m2*v2*v2/2 = constant
    (кинетическая энергия
    1/2 и соответствующий закон для кинетической энергии – например, «есть два шарика до соударения и их общая кинетическая энергия до соударения равна общей кинетической
    энергии после соударения
    constant
    , хотя в момент соударения и происходит перераспределение скоростей», кстати, хоть и считается, кажется, что энергия это «не вектор», а «скаляр», но вообще-то
    напрашивается само собой, что хотя бы математически можно принять, что это всё же векторная величина – можно привести большое количество аргументов…)
    Пример
    k1*x1*x1/2 + k2*x2*x2/2 = constant
    (потенциальная энергия
    1/2 сжатия пружины и соответствующий закон для потенциальной энергии – например, «есть энергия
    constant
    удержания совместно двумя пружинами некоторого груза и можно в этой механической схеме заменить одну из пружин, например, жёсткости к2 на другую пружину, например,
    жёсткости к2
    и тогда по этой формуле можно сопоставить удлинения пружин до и удлинения пружин после замены одной из пружин». Кстати, в механике есть пружины с регулируемой жёсткостью –
    то есть это вполне банальная схема, где происходит не замена пружины на пружину другой жёсткости, а происходит регулировка жёсткости одной пружины.)
    Гипотеза:
    - это тип записи и некоторых
    физических понятий и одновременно тип записи
    законов физики «по третьему элементу ряда Тэйлора», то есть можно записать некоторое физическое понятие типа
    ’’(0)*
    и можно записать некоторый физический закон типа
    1’’(0)*
    1/2 +
    2’’(0)*
    2/2 =
    constant
    , а ещё точнее - закон в векторном виде
    вектор{
    1’’(0)*
    1/2} + вектор{
    2’’(0)*
    2/2} =
    constant
    vector
    И так далее – каждый элемент ряда Тэйлора – может быть это одно из понятий физической величины. Например, - координата, количество движения, сила, энергия,… и так далее
    бесконечное число отдельных понятий, включая и ранее не называвшиеся отдельными именами и промежуточные и последующие понятия в составе ряда Тэйлора, хотя, в общем – это лишь
    элементы ряда Тэйлора.
    Четвёртый элемент ряда Тэйлора:
    F’’’(0)*x*x*x/3!:
    m1*v1*v1*v1/3! + m2*v2*v2*v2/3! = constant
    k1*x1*x1*x1/3! + k2*x2*x2*x2/3!
    constant
    Гипотеза:
    - это тип записи и некоторых
    физических понятий и одновременно тип записи
    законов физики «по четвёртому элементу ряда Тэйлора», то есть можно записать некоторое физическое понятие типа
    ’’’(0)*
    и можно записать некоторый физический закон типа
    F1’’’(0)*x1*x1*x1/3! + F2’’’(0)*x2*x2*x2/3!
    constant
    а ещё точнее - закон в векторном виде
    вектор{
    1’’’(0)*
    1/3!} + вектор{
    2’’’(0)*
    2/3!} =
    constant
    vector
    И так далее…
    Кажется очень очевидным метод записи вытекающих отсюда законов физики. Можно приравнивать к самому себе каждый отдельный элемент ряда Тэйлора (элемент слева от знака
    равенства отвечает за одну часть системы, а элемент справа от знака равенства отвечает за другую часть рассматриваемой системы). А более обобщённо можно сказать, что можно
    векторно складывать один типовой член ряда Тэйлора, но характеризующий разные объекты в рамках одной рассматриваемой системы – векторное сложение «координат», векторное
    сложение «количества движения», векторное сложение «силы», векторное сложение «энергий», и т.д.
    А можно приравнивать друг к другу
    и-или векторно складывать частичные суммы, то есть не отдельные элементы ряда Тэйлора, а суммы неких разных количеств первых членов ряда Тэйлора. А можно и
    не обязательно первых подряд элементов, а можно выдернуть любую часть ряда Тэйлора, например, из его середины. Или даже взять некие порции не подряд идущих элементов ряда
    Тэйлора. Во всяком случае, можно попробовать попытаться понять «чтобы это значило» (как когда-то была такая рубрика «чтобы это значило» в передаче «Вокруг смеха»).
    А полный ряд Тэйлора может быть образует, например, какой-нибудь один из обобщённых законов физики в виде ряда Тэйлора, - ряд, сходящейся к чему либо… или не сходящейся…
    кто его знает… Бывают разные ряды…
    Хотя с точностью до Ньютоновской линейной механики вполне очевидно можно считать использующимися только первые элементы ряда Тэйлора, а остальные можно считать
    отброшенными (не важными)…
    А с чем тогда можно сравнить Эйнштейновскую нелинейную механику (нелинейные зависимости при больших скоростях) - с каким количеством удержанных элементов ряда Тэйлора?
    Непонятно…
    Попробуем не трогать глобальные вещи, а попробуем рассмотреть частный пример. Выше было записано:
    Второй элемент ряда Тэйлора:
    F’(0)*x: m1*v1=m2*v2.
    Третий элемент ряда Тэйлора:
    F’’(0)*x*x/2: m1*v1*v1/2 + m2*v2*v2/2 = constant
    То есть, может быть, следуя предложенным интуитивным ассоциациям и аналогиям можно записать ряд Тэйлора в виде:
    (0)+
    ’(0)*
    ’’(0)*
    /2 +
    ’’’(0)*
    /3! + …
    Но в известных законах физики фигурируют НЕ производные от массы, то есть НЕ
    ’(0)*
    , а сама масса, то есть
    (0)*
    . И НЕ
    ’’(0)*
    /2, а
    (0)*
    Что это может означать? Что предположение о физической аналогии элементов математического ряда Тэйлора НЕ справедливо? Или может быть, что, например, понятие «масса» это
    в некотором смысле НЕ есть постоянная величина и эта величина может быть продифференцирована? И тогда может быть есть такая функция, которая при дифференцировании (причём
    многократном) дает всегда саму себя?
    То есть может быть
    (0) =
    (0) =
    ’(0) =
    ’(0) =
    ’’(0) =
    ’’(0) = ,…?
    Кажется, производная от экспоненты
    ) это и есть та же самая экспонента (если у меня из памяти вылетел ещё не весь курс этого раздела математики). То есть, может быть, масса это есть функция экспоненты от
    некоторой величины х (типа
    ))? И производная от
    ) по этой самой х и даёт всегда одну и ту же
    )? Так кажется.
    То есть можно предположить, что
    ). То есть вполне авантюрно (зато забавно) можно предположить, что масса зависит от скорости по экспоненте. В первом (хоть в каком-нибудь) приближении.
    Причём экспонента от нуля это единица
    (0)=1 – частный случай, то есть за некую единицу можно считать величину массы в покое в некоторой точке координат. А вот уже если в этой точке координат у массы есть
    скорость, то есть масса двигается относительно рассматриваемой точки, то уже появляется элемент
    (0)*
    (где скорость не равна нулю).
    А если масса проходит координату с ускорением, то, может быть, это как раз характеризуется элементом
    (0)*
    /2=1*
    /2? Скорее всего - нет. Скорее всего, это всё ещё так называемые инерциальные системы отсчёта – когда скорость относительно некоей системы координат либо равна нулю либо
    постоянна (и прямолинейна).
    То есть, может быть, речь идёт о ряде вида 1+1*
    /2+1*
    /3!+…? То есть может быть в Ньютоновской механике (в инерциальных системах координат) просто были отброшены все «несущественные» члены ряда?
    То есть можно предположить, что
    ). Кстати, один из вариантов начала поиска решения системы дифференциальных уравнений состоит в том, чтобы предположить, что решение записывается в экспонентах… Может быть
    и здесь можно начать с такого же предположения?
    Тогда получаем ряд Тэйлора для движущейся массы:
    (0)+
    ’(0)*
    ’’(0)*
    /2 +
    ’’’(0)*
    /3! + …
    (0)+
    ’(0)*
    ’’(0)*
    /2 +
    ’’’(0)*
    /3! + …
    и подставляя
    (0) =
    (0) =
    ’(0) =
    ’(0) =
    ’’(0) =
    ’’(0) = 1,… получаем
    (0)+
    (0)*
    (0)*
    /2 +
    (0)*
    /3! + …
    (0)*(1 +
    /2 +
    + …)=m(0)*exp(v)=1*exp(v)=exp(v)
    Как-то забавно получилось, что, предположив, что масса есть экспонента от скорости мы из ряда Тэйлора получили что это вроде бы не опровергается рядом Тэйлора. То есть
    масса покоя может быть принята за единицу, а добавка массы от скорости формируется как домножение на экспоненту от скорости…
    Хотя это уже, наверное, не столько ряд для массы, сколько может быть для энергии, которая начинается с неподвижной массы. То есть может быть «напрашивается» некая новая
    понятийная величина.
    Вот только возникает одна неувязочка – размерности элементов ряда Тэйлора. Дело в том, что в...

    Забрать файл

    Похожие материалы:


ПИШЕМ УНИКАЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Заказывайте напрямую у исполнителя!


© 2006-2016 Все права защищены