Теория вероятностей и математическая статистика

    Дисциплина: Разное
    Тип работы: Курсовая
    Тема: Теория вероятностей и математическая статистика

    Задача 1.
    Генерация случайных чисел с заданным законом распределения с помощью случайных чисел, равномерно распределенных на интервале (0,1):
    Решение:
    С помощью сумм 6 независимых равномерно распределенных на интервале (0,1) случайных чисел получим 24 случайных числа со стандартным нормальным законом распределения по формуле
    , где z
    - равномерно распределенные на интервале (0,1) случайные числа.
    Получены следующие числа:
    -1.235
    -0.904
    -1.674
    1.918
    -0.335
    1.082
    -0.584
    -0.565
    0.149
    0.528
    1.076
    1.011
    0.671
    -1.011
    -1.502
    0.627
    -0.489
    -0.486
    1.022
    -0.472
    -0.844
    0.92
    -0.583
    0.645
    -0.495
    Найдем выборочное среднее по формуле
    Найдем выборочную дисперсию по формуле
    Получим 11 случайных чисел с законом распределения Стьюдента с 10 степенями свободы:
    Случайные числа, распределенные по закону «хи квадрат» с 10 степенями свободы:
    , где
    i – нормальные независимые случайные величины.
    Случайные числа, распределенные по закону Стьюдента с 10 степенями свободы:
    , где
    x – нормальная случайная величина, а
    2 – независимая от
    x величина, которая распределена по закону «хи квадрат» с 10 степенями свободы.
    Получены следующие числа:
    -0.58
    -2.496
    -0.06
    -0.932
    1.547
    0.418
    1.658
    1.51
    -0.171
    -0.821
    -1.728
    Найдем выборочное среднее по формуле
    Найдем выборочную дисперсию по формуле
    Задача 2.
    Проверка статистической гипотезы:
    1,…,x
    100}, распределенных по показательному закону с параметром
    l = 1/6, найти такое наименьшее целое число N, что N
    k для всех k = 1,…,100;
    разделить отрезок [0, N] на 10 равных отрезков; получить группированную выборку {n
    1,…,n
    10}, где n
    i – число чисел, попавших в i-ый интервал; построить гистограмму относительных частот; по группированной выборке найти оценку
    параметра
    проверить с помощью критерия «хи квадрат» гипотезу о соответствии группированной выборки показательному распределению с параметром
    при уровне значимости 0.05.
    Решение:
    Получим 100 случайных чисел {x
    1,…,x
    100}, распределенных по показательному закону с параметром
    l = 1/6:
    4,9713
    3,2905
    2,7849
    4,1093
    2,1764
    9,9659
    10,343
    4,6924
    13,966
    14,161
    0,4258
    0,6683
    8,8884
    5,3392
    2,7906
    4,7696
    3,0867
    0,9414
    2,8222
    3,4177
    10,148
    3,5312
    8,4915
    3,0179
    3,2209
    4,2259
    1,8006
    2,8645
    1,3051
    3,3094
    0,5557
    1,9075
    2,4227
    6,9307
    7,1085
    13,322
    0,9665
    11,19
    15,203
    2,6685
    3,6408
    5,3646
    4,5871
    11,277
    1,823
    1,142
    0,8126
    7,2223
    12,371
    1,4527
    2,9692
    15,762
    2,5493
    13,533
    8,8944
    0,5005
    2,4678
    4,2491
    4,1972
    4,0488
    2,2424
    3,0025
    30,785
    13,778
    0,8824
    1,7475
    5,8036
    3,5565
    0,2718
    10,404
    12,166
    0,297
    21,487
    17,302
    12,166
    0,875
    1,9573
    25,326
    2,0727
    9,1516
    10,669
    6,4555
    6,005
    1,3209
    3,8486
    1,3525
    11,593
    5,4617
    11,946
    16,293
    3,3376
    3,6084
    7,0011
    1,279
    7,5471
    0,6641
    1,776
    6,1109
    8,857
    8,8327
    Находим такое наименьшее целое число N, что N
    k для всех k = 1,…,100:
    N = 31
    Разделяем отрезок [0, 31] на 10 равных отрезков и получим группированную выборку {n
    1,…,n
    10}, где n
    i – число чисел, попавших в i-ый интервал:
    0,39
    0,25
    0,12
    12,4
    0,12
    12,4
    15,5
    0,06
    15,5
    18,6
    0,03
    18,6
    21,7
    0,01
    21,7
    24,8
    24,8
    27,9
    0,01
    27,9
    0,01
    Гистограмма относительных частот:
    Находим выборочное среднее по формуле
    По группированной выборке находим оценку
    параметра
    по формуле
    Проверяем с помощью критерия «хи квадрат» гипотезу о соответствии группированной выборки показательному распределению с параметром
    при уровне значимости 0.05:
    Находим вероятности попадания X в частичные интервалы (x
    i, x
    i+1) по формуле
    Вычисляем теоретические частоты по формуле
    i - f
    2 / f
    0,3955
    39,55
    0,0076
    0,2391
    23,91
    0,0499
    0,1445
    14,45
    0,4162
    12,4
    0,0874
    8,74
    1,2188
    12,4
    15,5
    0,0528
    5,28
    0,0977
    15,5
    18,6
    0,0319
    3,19
    0,0116
    18,6
    21,7
    0,0193
    1,93
    0,4482
    21,7
    24,8
    0,0117
    1,17
    1,1668
    24,8
    27,9
    0,0071
    0,71
    0,1231
    27,9
    0,0043
    0,43
    0,7717
    Находим наблюдаемое значение критерия по формуле
    По таблице критических точек распределения «хи квадрат», по заданному уровню значимости 0.05 и числу степеней свободы 8 находим критическую точку
    Гипотезу о
    соответствии группированной выборки показательному распределению с параметром
    не отвергаем.
    Задача 3.
    Проверка гипотезы о равенстве дисперсий:
    Решение:
    Получим 2 случайных числа, распределенных по стандартному нормальному закону с помощью сумм 5 независимых равномерно распределенных на интервале (0, 1) случайных чисел по формуле
    , где
    равномерно распределенные на интервале (0, 1) случайные числа.
    Получены следующие числа:
    -0,848
    -1,662
    Получим 9 случайных числа, распределенных по стандартному нормальному закону с помощью сумм 9 независимых равномерно распределенных на интервале (0, 1) случайных чисел по формуле
    , где
    равномерно распределенные на интервале (0, 1) случайные числа.
    Получены следующие числа:
    0.885
    1.25
    -0.365
    -1.139
    0.891
    -1.176
    0.237
    1.807
    -0.96
    Проверим гипотезу о равенстве генеральных дисперсий полученных совокупностей при уровне значимости 0.1:
    Найдем выборочное среднее первой совокупности по формуле
    Найдем выборочное среднее второй совокупности по формуле
    Найдем исправленную дисперсию первой совокупности по формуле
    Найдем исправленную дисперсию второй совокупности по формуле
    Вычислим наблюдаемое значение критерия (отношение большей исправленной дисперсии к меньшей) по формуле
    По таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора, по заданному уровню значимости 0.1 и числам степеней свободы 1 и 9 найдем критическую точку
    Гипотезу о равенстве генеральных дисперсий полученных совокупностей при уровне значимости 0.1 не отвергается.
    Задача 4.
    Уравнение линии регрессии:
    1,…,x
    50} случайной величины X, равномерно распределенной на интервале (0, 9); получить 50 случайных независимых значений {y
    1,…,y
    50} случайной величины Y следующим образом: y
    i – случайное число, распределенное по показательному закону с параметром
    max,
    max] на 5 равных частей, где
    max – наибольшее по абсолютной величине отклонение y
    i от линии регрессии.
    Решение:
    Получим 50 случайных независимых значений {x
    1,…,x
    50} случайной величины X, равномерно распределенной на интервале (0, 9):
    8.83174196071923
    6.99053263384849
    8.93890746776015
    0.385410904884338
    5.75393992289901
    4.51090870331973
    0.00656201597303152
    7.97929550148547
    6.6076143393293
    4.54793028719723
    1.40597840119153
    2.18026433419436
    5.0019520400092
    5.61958408355713
    0.148369995877147
    4.25108801946044
    4.77254802547395
    1.53819094598293
    6.14594876859337
    0.812219920568168
    6.2368449093774
    1.69562757108361
    0.777272606268525
    2.94200689997524
    7.07131071947515
    2.973582518287
    8.08092284202576
    2.89726528152823
    8.8169469544664
    3.27939590346068
    0.570096284151077
    8.46246168483049
    2.00763375777751
    2.70446146745235
    8.67470343410969
    1.92118153441697
    1.92350933980197
    1.31150823365897
    1.80795181263238
    3.65427995938808
    8.97048242390156
    2.54362053237855
    0.0568648930639029
    6.36279229167849
    1.68422971665859
    4.25911642424762
    2.50030734948814
    4.91532963048667
    7.35895295999944
    4.39228433836252
    Получим 50 случайных независимых значений {y
    1,…,y
    50} случайной величины Y следующим образом: yi – случайное число, распределенное по показательному закону с параметром
    24.9323592452182
    15.7441606069719
    15.5028112434691
    2.87790855039727
    4.16156795216443
    0.190460347139702
    0.252207251176988
    5.55884492608762
    11.5417165759534
    11.8189116910915
    9.57191092954621
    6.48268208064067
    10.6729845988228
    11.9201379351172
    0.0563900402236241
    6.07239051882238
    10.8341890845962
    2.77373256888689
    1.4735808529829
    0.683544240471081
    1.536352690789
    0.100495382422226
    6.48630115206778
    1.01940005703768
    6.79791391486788
    2.34472037157293
    2.06912254815368
    3.42524848981833
    9.45107565557296
    3.18848770214796
    1.69800713475763
    2.42887690987151
    6.18175839336735
    4.85432860734921
    3.12088295311468
    0.14473630724364
    0.312712437424258
    1.16492882917332
    2.95306149294792
    6.38190212865322
    0.293019110223049
    0.664514453422601
    3.47608211592645
    20.3599120342622
    1.45318365215952
    9.23209976014301
    0.965294785502523
    6.29747102157127
    6.46689933291391
    3.14474865192493
    Найдем уравнение прямой линии регрессии Y на X по этим данным по формулам
    Уравнение прямой линии регрессии Y на X:
    Получены следующие значения отклонений имеющихся данных от прямой регрессии:
    15.1803992483777
    7.69319511536507
    5.65184678474214
    0.929060620003659
    -2.74697588437076
    -5.56971364166513
    -1.34664251825399
    -3.40558552590376
    3.84450875080244
    6.024535447371
    6.68021544884769
    2.87566537149934
    4.45916201865442
    5.13571824955786
    -1.67346851299683
    0.55225091890577
    4.83230056456327
    -0.240106987952807
    -5.79711892247662
    -1.65960963866345
    -5.81832115202078
    -3.05879142493402
    4.17543322148284
    -3.29134973659658
    -1.32767811582337
    -1.99520044159931
    -6.98919595084991
    -0.844166923187427
    -0.287216028830924
    -1.43395768887411
    -0.421461708068378
    -6.98192485416478
    2.73422581111747
    0.763034293093572
    -6.48599757504491
    -3.22292770452086
    -3.0571021088348
    -1.63949073262982
    -0.309995654309725
    1.41312147312541
    -9.58711575629829
    -3.27818755099385
    1.8307602174006
    12.8888821627727
    -1.69557328905632
    3.70454314781532
    -2.93739249325208
    0.163674237751803
    -1.9244299300759
    -2.50583465100064
    Проверим с помощью критерия «хи квадрат» гипотезу о нормальном распределении с нулевым математическим ожиданием отклонений имеющихся данных от прямой регрессии при уровне значимости
    0.05:
    Найдем наибольшее по абсолютной величине отклонение y
    i от линии регрессии:
    Рассмотрим группированную выборку, разделив отрезок [-
    max,
    max] на 5 равных частей:
    -15.1803992483777
    -9.10823954902661
    -9.10823954902661
    -3.03607984967554
    -3.03607984967554
    3.03607984967554
    3.03607984967554
    9.10823954902662
    9.10823954902662
    15.1803992483777
    Вычислим шаг
    Вычислим выборочное среднее по формуле
    Вычислим выборочное среднее квадратическое отклонение по формуле
    Вычислим теоретические вероятности попадания ...

    Забрать файл

    Похожие материалы:


ПИШЕМ УНИКАЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Заказывайте напрямую у исполнителя!


© 2006-2016 Все права защищены