Шпаргалки по ВЫШКЕ

    Дисциплина: Разное
    Тип работы: Шпаргалки
    Тема: Шпаргалки по ВЫШКЕ

    Основы фифференциального исчисления . Понятие производной.
    – приращение аргумента.
    ) – приращение функции. Пример:
    Определение:
    Произв. функ.
    ) в точке Х наз. предел отношения приращения функ. к приращению аргум., когда последнее стремится к 0.
    Геометрический смысл производной.
    Ку.к. – угловой коэф. касательной.
    Ксек – угловой коэф. секущей.
    Таким образом угловой коэффициент касательной совпадает со значение производной в данной точке.
    Уравнение касательной к графику функции
    ) в точке М0 (
    0) имеет вид:
    Физический смысл производной.
    ) – путь за данное время.
    ) – приращение пути.
    –средняя скорость на участке.
    мгновен. скорость на участке:
    произв. пути от скорости: S\'(t)=U(t)
    Теорема
    : Связь между непрерывной и дифференцируемой функцией.
    Функция наз. диферинцируемой если она имеет производную.
    Если функция диффер. в точке х, то она и непрерывна в этой точке.
    Доказательство:
    Правила дифференцирования
    Теорема: Если
    ) и
    ) дифферен. в точке х, то:
    Доказательство 2-го правила.
    Теорема о произв. сложной функции.
    Если
    )) и существует
    ’(
    ) и
    ’(
    ), то существует
    ’(
    ’(
    Доказательство:
    Рассмотрим
    ) в задан. промеж.: [
    ): [
    )] – наз. обратной к
    ), если
    , для любого
    , для любого у
    y=sin x [-
    /2],
    тогда
    x=arcsin y, y
    [1,1]
    sin arcsin y = y;
    arcsin * sin x=x
    Теорема о произв. обратной функции.
    Таблица производных:
    Таблица производных:
    Доказательство:
    Дифференциал функции.
    Определение:
    Если Х независимая переменная, то дифференциал функции
    ) наз.
    ’(
    обозначают
    Теорема об инвариантной форме первого дифференциала.
    df(x)=f’(x)dx
    Доказательство
    Производная высших порядков.
    Определение:
    Производная второго порядка называется производная производной данной функции:
    Определение:
    Производная
    -го порядка называется производной производной
    -1-го порядка.
    Пример
    Используя метод математической индукции несложно показать, что:
    -ая производная обладает свойством линейности, т.е.:
    Дифференцирование функций заданных параметрически.
    Пример 1:
    возьмем
    =1, тогда
    ’(2)=7/3
    Пример
    Основные теоремы матим. анализа.
    1. Теорема Ферма.
    Если
    ) дифф. в точке
    и принимает в хтой точке наибольш. или наименьш. значение для некоторой окресности точки
    , то
    ’(
    )=0.
    Доказательство
    пусть
    ) – наибольшая.
    2.Теорема Ролля.
    Если функция
    ) непрерывна на заданном промеж/ [
    ] деффер. на интервале (
    ) то существует т. с из интерв. (
    ), такая, что
    ’(
    )=0.
    3. Теорема Коши.
    Если
    ) удовл. трем условиям:
    ) непрерыв. на промеж [
    ) деффер. на интервале (
    ’(
    0 на интер. (
    ), то сущ. т. с
    ) (неравны по теореме Ролля).
    ) – непрерывна на [
    ) – дефференцированна на (
    3). F(a)=0 ; F(b)=0
    по теореме Ролля сущ. с
    ’(с)=0
    4.Теорема Лагранжа.
    Если функция
    ) непрерывна на [
    ] и дефференцирована на (
    ), то сущест.
    (a,b),
    такая
    что
    : f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).
    Доказательство:
    применим т.Коши, взяв только
    , тогда
    ’(
    Правила Лопиталя.
    Раскрытие неопределенности.
    Теорема:
    Если функция
    ) дефференцирована в окресности т. а, причем
    )=0 и существует предел
    Доказательство
    Формула Тейлора.
    Определение:
    многочлен Тейлора
    -го порядка функции
    ) в точке
    назыв.
    Пример:
    Определение:
    остаточным членам формулю Тейлора
    -го порядка наз.:
    Теорема
    : Если функция
    +1) – дефферен. в окресности точки
    , то для любого
    из этой окресн. сущ. т. с(
    Правила дифференцирования
    Производные степенных и тригонометрических функций.
    Основные формулы:
    Производная сложной функции.
    Производные показательных и логарифмических функций.
    Основные формулы:
    Если
    ) – дифференцируемая функция от x, то формулы имеют вид:
    Производные обратных тригонометрических функций.
    Основные формулы:
    Для сложных функций:
    Аналитические признаки поведения функции.
    Теорема
    : Критерий постоянства фун.
    Функция
    const
    на промежутке [
    ], тогда, когда
    ’(
    )=0 на интервале (
    Док-во
    ’(
    ’=0 возьмем
    ] и применим т. Лангранжа
    ] по т. Лангранжа
    ’(
    )=0;
    ) для любого
    const
    Теорема
    : Достаточный признак возрастания функции.
    Если
    ’(
    )0, (
    ), то
    ) возрастает на [
    Док-во
    возьмем
    применим т. Лангранжа
    ) на [
    по этой теореме
    ’(
    ).Замечание: данные условия не являются необходимыми.
    Теорема
    : достаточный признак убывания функции.
    Если
    ’(
    )0 на (
    ), то
    ) убывает на [
    Док-во 1
    подобно предыдущему.
    Док-во 2
    ),тогда
    ’(
    ’(
    ) - возрастает =
    ) – убывает.
    Несложно показать, что если функция возрастает (убывает) на [
    ], то ее произв. не отрицат.(положит.) на (
    ) возрастает: [
    ’(
    Признаки экстремума функций.
    Опред
    точка
    называется точкой
    ) если существ. такая окрестность данной точки, что в
    фун. принимает наибольшее (наименьшее) значение.
    Точка х0 наз. точкой экстремума, если эта точка
    или
    данной функции.
    Теорема
    : Необходимый признак экстремума функции.
    Если х
    точка экстремума
    ), то :
    1). Либо не существует
    ’(
    2). Либо
    ’(
    Док-во
    1). Не сущест.
    ’(
    2). Сущест.
    ’(
    ) - по т. Ферма
    ’(
    Замечание:
    данные условия не являются достаточными.
    Поиск наибольшего и наименьшего значения непрерывных функций на замкнутом промежутке.
    Теорема
    : Первый достаточный признак экстремума функции.
    Если
    ’(
    )0 на интервале (
    -б,х
    ) и
    ’(
    )0 на интервале (х
    +б) т.е. меняет знак с плюса на минус при переходе на точку х
    , т.е. х
    – точка максимума
    ), а если же меняет знак с минуса на плюс, то х
    – точка минимума.
    Доказательство
    Теорема
    Второй достаточный признак максимума функции.
    Если
    ) имеет непрерывную вторую производную в окрестности точки х
    , и:
    1). f’(x
    2). f’’(x
    то х0 точка максимума (аналогично, если
    ’’(
    )0, то х
    – точка минимума)
    Док-во
    Возьмем окрестность, где вторая производная сохраняет знак и запишем формулу Тейлора 1-го порядка для х из данной окрестности.
    Выпуклость графика функции.
    Опр
    . График функции
    ) называется выпуклым вниз (вверх) если он расположен выше (ниже) любой касательной проведенной к графику функции на данном интервале.
    Теорема
    : Достаточный признак выпуклости графика функции вниз.
    Если функция
    ) дважды дефференц. на нтервале (
    ) и ее вторая производн.
    ’’(
    )0 на интервале (
    ), то график функции
    ) выпуклый вниз на интервале (
    Возьмем
    .Из первого вычтем второе
    Поэтому
    следовательно график функции расположен выше касательной
    Аналогично, если
    ’’(
    )0 на (
    ) то график функции
    ) - выпуклый вверх, на данном интервале.
    Асимптоты.
    Опр
    . Часть графика называется бесконечной ветвью если при движении точки по этой части, расстояние между ей и началом координат стремится к бесконечности.
    Опр.
    Прямая называется асимптотой бесконечной ветви графика функции, если при удалении точки от начала координат по этой ветви, расстояние до данной прямой стремится к нулю.
    Теорема 1
    (вертикальная прямая) – является асимптотой для бесконечно вертикальной ветви графика функции
    ), тогда когда
    , при
    Теорема 2
    Критерий существования наклонной асимптоты прямая
    является асимптотой для правой (левой) ветви графика функции тогда, когда существует предел при :
    Док-во
    Точка
    ) и прямая
    =0, то рассто...

    Забрать файл

    Похожие материалы:


ПИШЕМ УНИКАЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Заказывайте напрямую у исполнителя!


© 2006-2016 Все права защищены